Er besuchte die landwirtschaftliche Fakultät der Universität Zagreb, wo er Weinbau und Önologie studierte. Er lernte jedoch Kalifornien kennen und wollte das damalige Jugoslawien verlassen, um dort Winzer zu werden. 1954 verließ er das kommunistische Jugoslawien und ging nach Westdeutschland, wo er ein Stipendium erhielt. Von dort aus wanderte er nach Kanada aus, und als er schließlich ein Jobangebot von einem Weingut in Kalifornien erhielt, konnte Grgich dorthin gehen.
Nach seiner Arbeit in verschiedenen Weingütern im Napa Valley – darunter Souverain Winery, Christian Brothers Cellars, Beaulieu Vineyard (an der Seite von André Tchelistcheff) und Robert Mondavi – wurde Grgich Winzer und Kommanditist bei Chateau Montelena. Sein Chardonnay des Jahrgangs 1973 wurde für die historische Pariser Weinprobe von 1976 ausgewählt, wo er als bester Weißwein bewertet wurde. Eine dramatisierte Version der Geschichte wird in dem Film Bottle Shock aus dem Jahr 2008 erzählt, in dem Grgich nicht vorkommt, weil er nicht mitspielen wollte.“
Dieser Erfolg ermöglichte es Grgich (mit seinem Geschäftspartner Austin Hills von Hills Brothers Coffee), sein eigenes Weingut, Grgich Hills Cellar in Rutherford, Kalifornien, zu gründen. Das Weingut, das 2006 in Grgich Hills Estate umbenannt wurde, besitzt 366 Acres (148 ha) Weinberge und produziert jedes Jahr 70.000 Kisten Wein. Sein erster Jahrgang gewann den Great Chardonnay Showdown mit 221 Konkurrenten aus der ganzen Welt.