BIBLIOGRAPHIE
Eine Regression mit fixen Effekten ist ein Schätzverfahren, das in einem Paneldatenkontext eingesetzt wird und die Kontrolle für zeitinvariante unbeobachtete individuelle Merkmale ermöglicht, die mit den beobachteten unabhängigen Variablen korreliert sein können.
Angenommen, wir interessieren uns für die kausale Beziehung zwischen einem Vektor beobachtbarer Zufallsvariablen x = (1, x1, x2, …, xK) ‚ und einer abhängigen Zufallsvariablen y, wobei das wahre lineare Modell die folgende Form aufweist:
yi= β ‚xi + μ i + ε i mit i = 1, …, N
wobei μ eine unbeobachtete Zufallsvariable ist, die jede Beobachtungseinheit i charakterisiert, und ε der mit x unkorrelierte stochastische Fehler.
Wenn μ mit x korreliert ist, können wir den Vektor der interessierenden Parameter β nicht konsistent mit Ordinary Least Squares schätzen, weil die Standardannahme, dass keine Korrelation zwischen dem Fehlerterm und den Regressoren besteht, verletzt wird. In einer Querschnittsumgebung sind typische Strategien zur Lösung dieses Problems der ausgelassenen Variablen Instrumentalvariablen oder die Einbeziehung von Proxies für μ. Wenn die verfügbaren Daten jedoch längsschnittlich sind, d.h. wenn sie sowohl eine Querschnitts- als auch eine Zeitreihendimension enthalten, ist es möglich, alternative Schätzmethoden anzuwenden, die in der Literatur als „Paneldaten“-Techniken bekannt sind.
Angenommen, wir beobachten wiederholt N Einheiten für T Zeiträume und die unbeobachtbare Variable μ ist zeitinvariant, dann können wir unser Modell schreiben als:
y it = β‘ x it + μ + ε; mit i = 1, …, N und t = 1, …, T
Abhängig von der Korrelation zwischen der ausgelassenen Variable μ und den Regressoren x stehen dem Forscher alternative Schätzverfahren zur Verfügung. Eine Regression mit festen Effekten lässt eine beliebige Korrelation zwischen μ und x zu, d. h. E (x jitμ i ) ≠ 0, während Regressionstechniken mit zufälligen Effekten eine solche Korrelation nicht zulassen, d. h. die Bedingung E (xjit μi ) = 0 muss beachtet werden. Diese Terminologie ist etwas irreführend, da in beiden Fällen die unbeobachtbare Variable als zufällig anzusehen ist. Die Terminologie ist jedoch in der Literatur so weit verbreitet, dass sie als Standard akzeptiert wurde.
Eine Regression mit festen Effekten besteht darin, den Zeitmittelwert von jeder Variablen im Modell zu subtrahieren und dann das resultierende transformierte Modell mittels Ordinary Least Squares zu schätzen. Dieses Verfahren, bekannt als „within“-Transformation, ermöglicht es, die unbeobachtete Komponente wegzulassen und β konsistent zu schätzen. Analytisch wird das obige Modell zu
ỹ it = β‘ x̃it + ε̃ it
wobei ỹ it = y it – ȳ i mit ȳ i = T -1 ΣT t = 1 y it (und das gleiche für x, μ und ε). Da a μ i über die Zeit fix ist, haben wir μ i μ̄ i = 0.
Dieses Verfahren ist numerisch identisch mit der Aufnahme von N – 1 Dummies in die Regression, was intuitiv darauf hindeutet, dass eine Regression mit fixen Effekten unbeobachtete individuelle Heterogenität mittels individueller spezifischer Intercepts berücksichtigt. Mit anderen Worten, die Steigungen der Regression sind für alle Einheiten gleich (die Koeffizienten von x1, x 2, …, x K), während der Achsenabschnitt variieren kann.
Ein Nachteil des Verfahrens mit festen Effekten besteht darin, dass die „within“-Transformation es nicht ermöglicht, zeitinvariante unabhängige Variablen in die Regression einzubeziehen, da sie ähnlich wie die feste unbeobachtete Komponente eliminiert werden. Außerdem sind die Parameterschätzungen wahrscheinlich ungenau, wenn die Zeitreihendimension begrenzt ist.
Unter klassischen Annahmen ist der Schätzer mit festen Effekten konsistent (mit N → ∞ und T fix) sowohl in den Fällen E (xjit μ i) = 0 als auch E (xjit μ i) ≠ 0, wobei j = 1, …, K. Er ist effizient, wenn alle erklärenden Variablen mit μi korreliert sind. Er ist jedoch weniger effizient als der Schätzer für zufällige Effekte, wenn E (xjitμi ) = 0 ist.
Die Konsistenzeigenschaft erfordert die strikte Exogenität von x. Diese Eigenschaft ist jedoch nicht erfüllt, wenn das geschätzte Modell eine verzögerte abhängige Variable enthält, wie in yit = α yit-1 + ‚xit + μi + εit .
Dies legt die Anwendung von Instrumentalvariablen oder verallgemeinerten Momentenmethoden nahe, um konsistente Schätzungen zu erhalten. Eine große Zeitdimension T gewährleistet jedoch auch im Fall der obigen dynamischen Spezifikation Konsistenz.
Manchmal enthält das wahre Modell unbeobachtete Schocks, die allen Einheiten i gemeinsam sind, aber zeitlich variieren. In diesem Fall enthält das Modell eine zusätzliche Fehlerkomponente 6, die einfach durch die Aufnahme von Zeitdummies in die Gleichung kontrolliert werden kann.
Eine typische Anwendung einer Regression mit festen Effekten ist im Zusammenhang mit Lohngleichungen. Nehmen wir an, dass wir daran interessiert sind, die Auswirkungen der Bildungsjahre in logarithmischen Werten e auf die Löhne in logarithmischen Werten w zu bewerten, wenn die Fähigkeit der Personen a nicht beobachtet wird. Das wahre Modell ist dann
Wi = β0 + β1 ei + v i
wobei vi = ai + εi Da die unbeobachtete Fähigkeit wahrscheinlich mit der Bildung korreliert ist, ist der zusammengesetzte stochastische Fehler v auch mit dem Regressor korreliert und die Schätzung von β 1 wird verzerrt sein. Da sich jedoch die angeborene Fähigkeit im Laufe der Zeit nicht ändert, können wir bei einem Längsschnittdatensatz einen Schätzer mit festem Effekt verwenden, um eine konsistente Schätzung von β 1 zu erhalten. Wenn wir die innere Transformation auf die vorstehende Gleichung anwenden, erhalten wir W̃it =βẽ1 it + ε̃ it
wobei wir die zeitinvariante unbeobachtete Komponente a i Being E (ε̃it εit ) = 0 eliminiert haben, erfüllt das Modell nun die klassischen Annahmen und wir können es mit Hilfe der gewöhnlichen kleinsten Quadrate schätzen.
Siehe auch Bayessche Ökonometrie; Random Effects Regression; Regressionsanalyse
BIBLIOGRAPHIE
Arellano, Manuel. 2003. Panel Data Econometrics. Oxford:
Oxford University Press.
Baltagi, Badi H. 2001. Econometric Analysis of Panel Data. 2nd ed. New York: Wiley.
Wooldridge, Jeffrey M. 2001. Econometric Analysis of Cross Section and Panel Data. Cambridge, MA: MIT Press.
Luca Nunziata