Was ist ein ausgewogenes Catan-Brett?

Mit mehr als 22 Millionen verkauften Exemplaren seit seiner Erfindung ist Catan zweifellos eines der meistgespielten Brettspiele der Welt.

Es gibt viele Gründe für den Erfolg des Spiels: Der Spielablauf ist einfach, schnell und bietet ein gutes Gleichgewicht zwischen Glück und Strategie.

Aber mit der Zeit und der explosiven Diversifizierung der Brettspiele in letzter Zeit ist es nicht schwer, Kritiker von Catan zu finden! Aber es gibt eine Menge begeisterter Catan-Spieler, und auch wenn ich oft zu schwereren Spielen tendiere, zähle ich mich zu ihnen!

Kritiken an Spielen sind oft interessant, weil oft etwas Wahres an ihnen ist. Also habe ich beschlossen, einige zu untersuchen und zu sehen, was wir von ihnen lernen können.

(Aber ich möchte einfach nur ein paar faire oder unfaire Catan-Bretter spielen)

Springen Sie gleich hier, um Beispiele für ausgeglichene Catan-Bretter zu sehen.

Oder wenn Sie es vorziehen: Unbalanced Catan boards.

If however, you are interested in how I came up with those, read on, I think this is the interesting part!

Recurrent Catan criticisms

If you are familiar with online board game communities, you’ll often read criticism of Catan among the following lines:

• The game relies too much on randomness, with too many dice rolls.
• The initial setup of the island is often unbalanced, making some resources hard to get.
• The game is unfair, starting position usually determining who will win from the start.

It is easy to spot an apparent contradiction:

The winner is determined by the luck of dice during the game

OR

The winner is mostly determined by starting position (and mostly unaffected by what follows.)

You see, we already have a good mystery on our hands!

What to expect in this article

In today’s post, we will address the initial setup of the game, and try to answer the following question:

What is a balanced Catan board?

And to get started on this, we will do 4 things:

• Quickly look at what is the Catan Island initial setup
• Establish the difference between a balanced setup and a fair setup.
• Find an objective way to measure if a Catan island is well-balanced.
• Have a look at different initial boards and even have a peek at extreme board setups!

Here is a preview of my new metric, the Catan Island Balance Index:

Going deeper

Once you start digging into board balance, a more complex question quickly emerges:

Is a balanced board inherently fair?

In my next article, I’ll have a deeper look at how the players choose their first settlement and try to determine if the first, or last player has the most to gain by playing on certain boards! We will then try to determine what is a fair or unfair board and if balanced boards are fairer than others!

(Here is a sneak peek of a settlement selection simulation, when ignoring the resource types)

The randomness question should be addressed in a later article, Dort werde ich versuchen, den Beweis zu erbringen, dass Glück im Spiel keine so große Rolle spielt. Aber da es sich im Moment hauptsächlich um eine Intuition handelt, werden uns die Zahlen vielleicht überraschen!

Aber Gleichgewicht und Fairness sind bereits ein großes Programm, also lassen Sie uns damit beginnen. Hoffentlich gewinnen wir dabei einige Erkenntnisse über Catan und werden vielleicht bessere Spieler!

Wenn Sie die anfängliche Erklärung zum Aufbau überspringen möchten: Beginnen Sie hier

Der Spielkontext

Ein Catan-Spiel wird auf einer imaginären Insel gespielt, die aus folgenden Teilen besteht:

• 19 sechseckige Ressourcenplättchen.
• 18 davon sind mit einer Zahl von 2 bis 12 verbunden.
• 9 Häfen, die einen besseren Tausch von Rohstoffen ermöglichen.

Die sechseckigen Rohstoffplättchen

Die sechseckigen Rohstoffplättchen werden in der Mitte platziert, die restlichen bilden zwei konzentrische Kreise um sie herum.

There are 6 different types of tiles (each producing a different resource):

• 4 Fields (Grain)
• 4 Pastures (Wool)
• 4 Forest (Lumber)
• 3 Hills (Bricks)
• 3 Mountains (Ore)
• 1 Desert Tile ( No production )

The Numbers

Each tile on the island is attributed a number (except the desert tile).

The numbers go from 2 to 12, each being present twice except 2 and 12.

During the game, at the beginning of each player’s turn, the player rolls a pair of dice. The sum of both indicates which resources tiles will pay out. Jede Siedlung um diese Plättchen produziert eine Rohstoffkarte für ihren Besitzer (2 Rohstoffkarten, wenn die Siedlung zu einer Stadt aufgewertet wurde).

Die einzige Einschränkung bei der Platzierung der Zahlen ist, dass Zahlen mit hoher Wahrscheinlichkeit, wie 6 oder 8, nicht auf benachbarten Plättchen liegen können.

Häfen

Häfen werden um die Insel herum platziert, als ob sie auf einem eigenen Sechseck liegen würden. Jeder verbindet sich mit zwei Sechseckecken und wird mit maximal einer Hafenverbindung pro Siedlungsposition um die Insel herum platziert.

Während seines Zuges kann ein Spieler 4 Rohstoffkarten desselben Typs gegen 1 Rohstoffkarte seiner Wahl tauschen.

Die Häfen erlauben es den Spielern, Rohstoffkarten zu einem besseren Tauschkurs als dem Standard zu tauschen.

Fünf Häfen sind von einem bestimmten Rohstofftyp (einer für jeden Rohstofftyp). Sie erlauben einen Tauschkurs von 2 Karten des Hafentyps gegen 1 Karte eines beliebigen Typs (auf der Karte mit 2:1 vermerkt).

Vier Häfen sind neutrale Häfen und erlauben den Tausch von 3 Karten eines Typs gegen 1 Karte eines beliebigen Typs (auf der Karte mit 3:1 vermerkt).

Initial settlement placement

Der erste Schritt im Spiel besteht darin, die ersten Siedlungen auf dem Spielbrett zu platzieren.

Siedlungen werden an den Ecken von Sechsecken platziert. Je nachdem, wo sie platziert werden, sind sie mit 1 bis 3 Sechsecken verbunden. Straßen werden an der Seite von Sechsecken platziert und dienen der Verbindung von Siedlungen.

Siedlungen können nicht nebeneinander platziert werden. Sie benötigen mindestens einen leeren Siedlungsplatz zwischen sich.

Zu Beginn platziert jeder Spieler reihum eine Siedlung und eine dazugehörige Straße. Danach legen alle Spieler eine zweite Siedlungs-Straßen-Kombination an, allerdings in umgekehrter Reihenfolge.

Die Spielerreihenfolge ist also: 1-2-3-4 4-3-2-1

Um die Dinge zu verkomplizieren, erhält jeder Spieler eine Rohstoffkarte für jedes Plättchen, das seine zweite Siedlung umgibt. Es ist also eine schwierige Entscheidung, sich einen guten Standort zu sichern oder sich einen frühen Vorteil zu verschaffen, indem man mit bekannten Ressourcenkarten, aber einer geringeren Ressourcenausschüttung beginnt.

Es ist wichtig zu beachten:

• Ressourcen sind während des Spiels nicht gleich wichtig,
• Einige Ressourcen sind knapper als andere auf der Insel.
• Zugehörige Plättchen haben nicht die gleichen Wahrscheinlichkeiten, aufzutauchen.

All das macht bestimmte Orte auf der Insel viel interessanter als andere…

Sind manche Anfangsaufstellungen des Spielbretts unfair?

Zunächst zwei wichtige Definitionen:

Ein ausgewogenes Catan-Brett ist ein Brett, bei dem die Ressourcen und die Würfelwahrscheinlichkeiten gleichmäßig auf dem Brett verteilt sind, aber auch die Wahrscheinlichkeiten zwischen den Ressourcenarten gut verteilt sind.

Ein faires Catan-Brett ist ein Brett, bei dem alle Spieler die gleiche Chance haben, gute Startpositionen zu wählen, egal in welcher Reihenfolge sie spielen.

Fairness und Gleichgewicht sind nicht unbedingt dasselbe. Und da Gleichgewicht leichter zu bestimmen ist als Fairness, fangen wir mit dem Gleichgewicht an. Sie wird sich als nützlich erweisen, wenn es um die Frage der Fairness geht…

Wie man sich für den anfänglichen Aufbau des Catan-Bretts entscheidet

Wenn man das Spiel aufbaut, hat man im Grunde zwei Möglichkeiten:

• Mit dem vorgeschlagenen Aufbau für Anfänger spielen.
• Die Spielsteine nach dem Zufallsprinzip verteilen, um mit einem einzigartigen Aufbau zu spielen.

Die erste Möglichkeit kann nur eine gewisse Zeit lang bestehen, da es ermüdend ist, immer mit demselben ersten Brett zu spielen.

Das Spielbrett zu randomisieren ist ein einfacher Weg, um Spielvariationen anzubieten, ohne dass man eine Spielerweiterung kaufen muss. Und ehrlich gesagt gewinnt man viel Verständnis für das Spiel, wenn man versucht herauszufinden, was eine gute Ausgangsposition auf einem immer wieder erneuerten Spielplan ist.

You can read my take on the importance of offering game variation in my previous post: Flamme Rouge a Study of Game Variability

Es ist jedoch unvermeidlich, dass die Spieler manchmal feststellen, dass ein zufälliges Spielbrett unausgewogen sein kann, so dass es für sie schwierig ist, ihre ersten Siedlungen auf Positionen zu platzieren, die ihnen eine gute Auswahl an Ressourcen mit einer vernünftigen Würfelwahrscheinlichkeit bieten.

Können wir eine gute Metrik finden, um objektiv zu messen, ob ein Spielbrett ausgewogen ist? Das wäre sicherlich hilfreich, um sich auf eine akzeptable Startaufstellung für alle zu einigen!

Ein objektives Maß für Ausgewogenheit finden

Lassen Sie uns mit folgender Annahme beginnen:

Wenn Ressourcen und Wahrscheinlichkeiten gut auf dem Brett verteilt sind, wird es zahlreiche gleichwertige Startpositionen geben. Die Spieler sollten dann zu Beginn eines Spiels ähnliche Gewinnchancen haben.

Da die Messung der Elementverteilung eine recht einfache Idee ist, habe ich mich entschlossen, einen objektiven Weg zu finden, um zu messen, wie ausgewogen ein Catan-Brett in Bezug auf seine Ausgangslage ist.

Ich habe dem Ganzen sogar einen Namen gegeben: Catan Island Balanced Index oder CIBI.

Wenig bekannt:
Cibi ist auch der Name eines fidschianischen Kriegstanzes.
Im Jahr 1939, als sich Fidschi auf seine allererste Tournee nach Neuseeland vorbereitete, dachte der Kapitän, Ratu Sir George Cakobau, dass seine Mannschaft einen Kriegstanz haben sollte, der zum Haka der All Blacks passt. Er wandte sich an Ratu Bola, den Oberhäuptling des Kriegerclans von Navusaradave in Bau, der ihnen den Cibi beibrachte, der seither als Fidschis Ritual vor dem Spiel gilt und die einzige Mannschaft ist, die auf einer kompletten Tournee durch Neuseeland ungeschlagen blieb.
Auszug aus WIkipedia.

Und da Catan ein Wettkampfspiel ist, das auf einer Insel stattfindet, ist es ein ziemlich passender Name!

So lasst uns beschreiben, was der CIBI-Index 1.0 ist.

Ich werde dies vielleicht später noch einmal aufgreifen, wenn die Leute Interesse an der Idee zeigen, oder wenn ich oder andere bessere Wege entdecken, um sich dem Thema zu nähern, aber ich denke, es ist ein sehr guter Gesprächsanstoß zu diesem Thema!

What makes a Catan board well balanced

As I explained earlier, there are three elements that combine to form a Catan Island:

• Resource Tiles (What resource are produced)
• Roll Numbers (When resource are produced)
• Harbors (Allowing favorable exchange rates for resources)

How those three elements are combined is what makes a board well-balanced or not. I chose 6 different measures of balance and combined them for the ultimate balance index:

• Resources distribution on the island
• Resources clustering
• Probability distribution on the island
• Number Clustering
• Probability distribution per resources
• Harbor placement by resource type

Here is an explanation for each of those:

Verteilung messen

Um zu messen, ob Ressourcen oder Wahrscheinlichkeiten gleichmäßig über die Catan-Insel verteilt sind, habe ich mich entschlossen, zu messen, wie gut die Dinge auf dem Spielbrett verteilt sind, indem ich die Insel in gleiche Teile geteilt habe.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Insel in zwei Teile zu zerlegen. Ich habe mich dafür entschieden, es so zu machen, dass die Standorte der Siedlungen in zwei Gruppen aufgeteilt werden, ohne dass eine auf der Trennlinie sitzt.

Wie das folgende Diagramm zeigt, gibt es drei einfache Möglichkeiten:

So wird es für die Ressourcenverteilung verwendet:

Ressourcenverteilung auf der Insel

Da die räumliche Verteilung der Ressourcen das erste ist, was die Leute sehen, wenn sie eine Catan-Tafel betrachten, schien die Ressourcenverteilung ein gutes Element zu sein, das in ein Gleichgewichtsmaß einbezogen werden sollte.

Wie man sie berechnet:

Zunächst betrachtet man jede mögliche Siedlungsposition und zählt die Häufigkeit der verbundenen Ressourcen für jede. Diese Zahlen werden verwendet, um die Verteilung der Ressourcen auf folgende Weise zu berechnen:

Betrachtet man eine Trennlinie nach der anderen:

• Für jede Seite addiert man die Häufigkeit jeder verfügbaren Ressource.
• Berechnet die Differenz zwischen den Seiten für jeden Ressourcentyp.
• Summiert man das Quadrat jeder Differenz, erhält man die endgültige Punktzahl

Wenn man dies für jede der drei Trennlinien macht und die Summe bildet, erhält man die Punktzahl für die Ressourcenverteilung.

Zur Veranschaulichung hier der Beitrag der Waldressourcen für eine der drei Trennlinien (36).

Wenn wir dies für jede Ressource und jede Trennlinie tun, erhalten wir eine Zahl, die das Gleichgewicht der Ressourcenverteilung darstellt. Je niedriger, desto ausgewogener, je höher, desto unausgewogener.

Wenn Sie sich fragen, warum ich die Zahl quadriert habe, so liegt das einfach daran, dass ein großes Ungleichgewicht bei einer Ressource mehr Gewicht hat als mehrere kleine Ungleichgewichte bei mehreren Ressourcen!

Hier sehen Sie, wie es bei ausgewählten, zufällig generierten Brettern aussieht, hier von sehr ausgeglichen bis weniger ausgeglichen:

Während ich später alles auf eine Skala von 0,0 bis 1,0* zurückführe, dachte ich, dass es interessant sein könnte, die Rohzahlen zu zeigen.

Beachte, dass der niedrigste Wert, der für ein Brett gefunden wurde, 0 ist, was bedeutet, dass die Insel in Bezug auf die Ressourcen perfekt ausgeglichen ist, wenn es um die 3 Trennlinien geht. Dieses Maß kann nicht tiefer gehen und zeigt somit die Grenze dieser Metrik.

Die Obergrenze ist jedoch eine weiche Grenze. Ich habe weder die theoretische Obergrenze explizit berechnet, noch behaupte ich, dass dies die größte Unausgewogenheit ist, die ein Brett haben kann.

Ich bin so vorgegangen, dass ich 100 Millionen zufällige Bretter generiert, sie bewertet und die Bretter mit der höchsten und der niedrigsten Punktzahl behalten habe. (Eigentlich habe ich das ein paar Mal gemacht und die höchsten Punktzahlen aktualisiert, wenn ich eine gefunden habe, aber das ist im Wesentlichen das Gleiche). Ich denke, das ist ein fairer Ansatz, lassen Sie es mich wissen, wenn Sie anderer Meinung sind!

Während die Ressourcenverteilung auf der Inselkomponente ein interessantes Maß ist, ist sie nicht die einzige Komponente der Ressourcenverteilung. Selbst bei einem Wert von 0 können wir eine gewisse Ressourcenhäufung erkennen.

Deshalb habe ich beschlossen, ein Maß hinzuzufügen, das sich speziell mit diesem Problem befasst.

Ressourcenhäufung

Um zu überprüfen, dass die Ressourcen nicht alle in einer Gruppe auf dem Spielbrett gehäuft sind, habe ich ein einfaches Häufungsmaß hinzugefügt:

Jedes Mal, wenn zwei Sechsecke desselben Typs eine Kante teilen, habe ich 5 Punkte gezählt.

Das war’s!

Hier sind fünf Inseln von weniger geclustert bis am meisten geclustert mit ihrer jeweiligen Punktzahl:

Beachten Sie hier, dass im ausgewogensten Brett keine Kacheln desselben Typs eine Kante teilen!

Da die Ressourcenclusterung mit der vorherigen Messung der Ressourcenverteilung ein wenig überflüssig erscheint, habe ich mich entschlossen, einen Blick darauf zu werfen, wie diese beiden korreliert sind. Nur um zu sehen, ob beide das Gleiche messen.

Zu diesem Zweck habe ich einfach ein Diagramm erstellt, das die beiden Messgrößen für jedes Board in Beziehung setzt. Jeder Punkt im folgenden Diagramm ist eine andere Insel:

Wir können sehen, dass beide Maße korreliert sind, aber sie sind definitiv nicht dasselbe! Auch auf einer perfekt gespiegelten Insel kann es zu einer gewissen Clusterbildung kommen, und nicht alle unausgewogenen Spiegelbilder sind vollständig geclustert.

(Für die Mathefreaks: Der Pearson-Korrelationskoeffizient beträgt 0.686)

Ein zukünftiger CIBI-Index könnte vielleicht mit nur einem der oben genannten Punkte auskommen, aber ich fühlte mich geneigt, beide für den Moment beizubehalten!

Wahrscheinlichkeitsverteilung pro Ressource

Auf einem zufällig generierten Brett wäre es überraschend, dass jede Ressource mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf der Insel produziert.

Um die Fairness der Wahrscheinlichkeitsverteilung pro Ressourcentyp zu betrachten, bin ich von folgender Annahme ausgegangen:

• Ressourcen sollten eine Gesamtwahrscheinlichkeit für die Auszahlung haben, die proportional zu ihrer Präsenz auf dem Spielbrett ist.

Also habe ich für jeden Ressourcentyp den erwarteten Ertrag (Ressourcenproduktion) aller Plättchen über 36 Würfelwürfe betrachtet. Das ist einfach zu machen, da dies durch die Anzahl der Punkte unter jeder Zahl dargestellt wird.

Ein Rohstoffsechseck, das mit der Zahl 5 assoziiert ist, sollte zum Beispiel im Durchschnitt alle 36 Würfelwürfe 4 Mal ausbezahlt werden.

Es gibt insgesamt 58 Punkte für alle Zahlen im Spiel. Das häufigste Ergebnis eines Würfelwurfs ist die 7, mit einer erwarteten Anzahl von 6… Aber es gibt keine Zahl 7 auf einem Catan-Brett, diese Zahl wird stattdessen benutzt, um den Räuber zu aktivieren.

Es gibt 30 Punkte unter den restlichen Zahlen von 2 bis 12. Und jede Zahl ist zweimal auf dem Spielbrett, außer 2 und 12. Für die doppelten Zahlen haben wir also auch 30 Punkte, abzüglich der 2 Punkte, die unter der 2 und der 12 gewesen wären. Wir haben also 30 + (30 -2) = 58 Punkte auf der Insel

58 Punkte, verteilt auf 18 Sechseckfelder.

Ressourcen mit 4 zugehörigen Feldern sollten im Durchschnitt:

4 * 58 / 18 = 12.889 erwartete Auszahlung (Getreide, Wolle, Holz)

Und ähnlich sollten Ressourcen mit 3 zugehörigen Feldern im Durchschnitt:

3 * 58 / 18 = 9.667 erwartete Auszahlung (Ziegel, Erz)

Wie berechnen wir unser Maß für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Ressourcen:

• Addiere die zugehörigen Wurfzahlenwahrscheinlichkeiten über 36 Würfe für jeden Ressourcentyp (Zähle die Punkte unter den Zahlen für jeden Ressourcentyp).
• Quadriere die Differenz zwischen erwarteten und tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten für jeden Ressourcentyp.
• Summiere alle quadratischen Differenzen!

Hier ist ein Verlauf von ausgeglichener bis völlig unausgeglichener Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Ressourcen:

Interessant ist, dass hier der niedrigste Wert 1,0 statt 0 ist. Das liegt einfach daran, dass die Zahlen nicht rund sind, da wir die erwartete Auszahlung berücksichtigen, und so ausgeglichen man auch zu sein versucht, es bleiben immer Ressourcen übrig, die leicht über oder leicht unter der unerreichbaren Zahl liegen, nur eine Eigenart der Wahl des Maßes, mit der wir leben müssen!

Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Brett

Die Überlegung zur Wahrscheinlichkeitsverteilung ist ähnlich wie die zur Ressourcenverteilung, nur dass wir statt der Anzahl der Ressourcenplättchen die Wahrscheinlichkeiten zählen, für jede Siedlung auf beiden Seiten der Spiegellinien Ressourcen zu erhalten.

Es geht darum, sicherzustellen, dass die Wahrscheinlichkeiten, Ressourcen zu erhalten, zwischen den einzelnen Teilen der Insel ausgeglichen sind.

Wie bei der Ressourcenverteilung habe ich für jede der drei möglichen Arten, die Insel aufzuteilen, Folgendes getan:

• Für jede Siedlungsposition zähle die Anzahl der Punkte unter den Zahlen auf jeder umgebenden Kachel.
• Summiere die Siedlungspunkte für jede Inselhälfte.
• Quadriere die Punktedifferenz zwischen beiden Hälften.

Die Addition der Endpunkte für jede Trennlinie ergibt das Endergebnis.

Hier sind fünf Inseln von der größten bis zur kleinsten Gleichverteilung:

Zahlenhäufung

Eines der tückischsten Dinge in Catan sind Siedlungen, die zwei verschiedene Felder mit der gleichen Zahl berühren. Vor allem dann, wenn diese Zahl nicht so oft vorkommt, wie es die Statistik vermuten lässt.

Wenn die Zahlen auf dem Spielbrett umgruppiert werden, kann dies die Ungerechtigkeit des Würfelglücks noch verstärken und sollte daher als Ungleichgewichtsfaktor betrachtet werden.

Hier machen wir es ähnlich wie bei der Ressourcenhäufung: Jedes Mal, wenn sich zwei Sechsecke mit der gleichen Zahl eine Kante teilen, wird eine Punktzahl von 5 addiert.

Hier liegt die Grenze bei 30. Es gibt zwei Zahlenplättchen für die Zahlen zwischen 3 und 11, mit Ausnahme der 7. Nach den Regeln gelten jedoch Tafeln nicht als gültig, wenn die beiden 6er oder die beiden 8er nebeneinander liegen.

Damit bleiben nur noch die 3-4-5-9-10-11, die auf benachbarten Tafeln liegen können. Sechs Zahlen, die jeweils 5 Punkte bringen können, sind 30.

(Nur eine kurze Anmerkung: Die Zahlen unter dieser Zahl sind etwas irreführend, weil ich diese Sequenzen so aufgebaut habe. Ich habe die beste und die schlechteste Insel ausgewählt, den gleichen Abstand zwischen den Zahlen bestimmt und das Brett gefunden, das dem am nächsten kommt. Hier liegt 7,5 also zwischen 5 und 10, zeigt aber tatsächlich eine Insel mit einer Punktzahl von 5).

So sieht es aus, vom ausgeglichensten bis zum am wenigsten ausgeglichenen:

Wenn man denselben Gedankengang wie bei der Ressourcenverteilung und der Ressourcenhäufung verfolgt, könnte man meinen, dass ein Zahlenhäufungsmaß ähnliche Ergebnisse wie das Wahrscheinlichkeitsverteilungsmaß liefern würde. Aber wenn man diese beiden zusammen grafisch darstellt, ergibt sich ein völlig anderes Bild!

Dieses Mal können wir sehen, dass die Wahrscheinlichkeitsverteilung überhaupt nicht mit der Zahlenclusterung korreliert!

Wenn man darüber nachdenkt, ist dies jedoch nicht so überraschend.

Es gibt eine größere Vielfalt an Zahlen als an Ressourcenarten, also vergleichsweise weniger Chancen für Zahlen, tatsächlich Nachbarn zu sein. Und da verschiedene Zahlen die gleiche Wahrscheinlichkeit haben können, ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeiten auf der Insel zu verteilen, ohne die Zahl gleichzeitig zu clustern!

(Der Vollständigkeit halber sei hier der Pearson-Korrelationskoeffizient genannt: 0,068)

Hafenplatzierung pro Rohstoffart

Häfen sind ein wichtiges Element eines Catan-Spiels. Sie bieten einen besseren Tauschkurs für Rohstoffe, so dass man sich weniger auf die Handelsbereitschaft der anderen Spieler verlassen muss. Als solche können sie wirklich Teil einer gewinnbringenden Strategie sein!

Häfen gibt es in zwei Arten:

• 3:1 harbors let you exchange 3 cards of a type against any resource card of your choice.
• 2:1 harbors let you exchange 2 cards of the harbor resource type against the card of your choice.

This makes harbors of a specific type more appealing… if in addition they are connected to a high paying hexagon tile of the same type!

To create a harbor balance measure I decided to give a score to each harbor based on its expected return:

• Count the expected payout of each settlement connected to a harbor (counting as before the dots on the number tiles).
• Payout of the same type than the harbor type count double.
• Harbor’s score is the highest score of the settlements that connect to it.
• Using those, simply calculate the variance.

Here is an example of Harbor Scoring:

For the variance:

• Berechnen Sie den Ertrag, den jeder auf dem Brett hat.
• Berechnen Sie den Durchschnitt.
• Berechnen Sie dann die quadratische Differenz zwischen jedem Ergebnis und dem Durchschnitt.
• Berechnen Sie den Durchschnitt der quadratischen Differenz

So erhalten Sie die Varianz: den durchschnittlichen Abstand zum Durchschnitt (quadriert).

Für unser Maß habe ich die Summe der quadrierten Abstände beibehalten, anstatt den Durchschnitt zu nehmen, der in der Größenordnung näher an den anderen Maßen liegt. Sie können durch 9 teilen, um die Varianz zu erhalten, wenn Sie dies bevorzugen!

Wenn alle Häfen eine hohe Auszahlung bieten, wird das Maß niedrig sein, was bedeutet, dass wir ein ausgeglichenes Brett haben, und wenn alle Häfen eine schlechte Auszahlung bieten, wird dies auch als ausgeglichen betrachtet. Nur wenn die Werte von Hafen zu Hafen ungleich verteilt sind, erhalten wir eine hohe Punktzahl!

Hier ist ein Beispiel, von am meisten bis am wenigsten ausgeglichen.

Zu dieser Messgröße noch etwas: Hohe Indexwerte deuten hier auf stark unausgewogene Hafenrenditen hin, wobei einige Häfen wirklich interessant für die Ansiedlung sind und andere überhaupt nicht.

Die Kehrseite der Medaille ist, dass viele ausgeglichene Hafensituationen damit enden, dass die Auszahlungen für die meisten Häfen kaum interessant sind. Vielleicht könnte dieses Maß noch verbessert werden, aber es liefert uns einige interessante Gedanken über die Platzierung von Häfen!

Wie setzt sich das alles zusammen

Nun, da wir alle Komponenten unseres Gleichgewichtsindexes haben, wie setzen wir sie zusammen?

Zunächst habe ich beschlossen, allen bisherigen Maßen die gleiche Bedeutung zu geben. Zu diesem Zweck habe ich jede Maßnahme auf einer Skala von 0,0 bis 1,0* bewertet.

Note: The 1.0* being the highest value obtained on a 100 million board run, it means that some measure could exceed 1.0 on occasion, but probably not by much!

Um die 6 Maßnahmen zu kombinieren, habe ich mich für einen einfachen Durchschnitt entschieden, der sich wie folgt zusammensetzt:

• Niedrige Werte sollten bedeuten, dass eine Behörde bei allen Maßnahmen schlecht abgeschnitten hat.
• Hohe Werte sollten bedeuten, dass ein Gremium bei allen Maßnahmen hoch abgeschnitten hat

Und mittlere Werte… nun… sie zeigen mittlere Werte für alle oder eine Mischung aus hohen und niedrigen Werten an.

Es gibt wahrscheinlich eine bessere Möglichkeit, all diese Messgrößen zu kombinieren, aber sie haben oft ihre eigenen Nachteile. Ich denke, der Durchschnitt ist ein guter Anfang. Lassen Sie es mich wissen, wenn Sie meinen, dass eine andere Methode besser geeignet wäre!

Wie sieht es also aus?

Um Ihnen eine Vorstellung zu geben, habe ich das Gleiche wie für einzelne Maßnahmen getan und Bretter mit repräsentativen Werten von niedrig bis hoch extrahiert:

Wie bei allen synthetischen Indizes gibt der CIBI-Index einen Eindruck von der Ausgewogenheit des Boards, aber es ist viel interessanter, ihn unter Einbeziehung aller Einzelkomponenten zu betrachten. Werfen wir also einen Blick auf die einzelnen Inseln mit all ihren zugehörigen Werten!

Bewertung einzelner Inseln

Nun, da wir ein objektives Maß haben, können wir prüfen, wie die einzelnen Inseln darin abschneiden. Und was wäre ein besserer Anfang, als sich die vorgeschlagene Insel für den Anfänger im Catan-Regelbuch anzusehen (zumindest die, die ich hier habe) und zu sehen, wie sie abschneidet:

Wie man sieht, ist die Anfängerinsel nicht perfekt ausgewogen:

• Zwei Weide-Sechsecke teilen sich eine Kachel.
• Hügel und Berge haben eine höhere Wahrscheinlichkeit pro Kachel.
• Der Waldhafen ist vorteilhafter als andere Häfen

Zum Vergleich ist hier die beste CIBI-Index-Insel, aus 100 Millionen generierten Boards.

Auch sie ist nicht perfekt, aber sie ist ausgewogener als die Startinsel!

Und wenn wir uns das am schlechtesten ausbalancierte CIBI-Brett von 100 Millionen generierten Inseln ansehen, sehen wir, dass es ein bisschen alptraumhaft zum Spielen aussieht!

Hier können wir sehen, dass das Spielbrett ziemlich unausgewogen ist, mit starker Häufung von Ressourcen und Zahlen. Aber überraschenderweise ist es leicht zu erkennen, dass es nicht das schlechteste Brett ist, das wir bekommen könnten! Durch einfaches Verschieben der Häfen sollten wir eine höhere Punktzahl bei der Hafen-Rückkehr-Bilanz erhalten und den CIBI-Index noch weiter nach oben treiben!

Das zeigt, dass die Anzahl der möglichen Catan-Bretter extrem hoch ist!

Selbst wenn wir uns 100 Millionen zufällige Spielbretter ansehen, können wir leicht erkennen, wie wir das schlechtere der zufälligen Bretter noch schlechter machen können. Das bedeutet, dass diese 100 Millionen nur einen winzigen Bruchteil aller möglichen Inselanordnungen ausmachen.

Betrachten wir die Bretter aus den 100 Millionen generierten Brettern

Über einen Bereich von 100 Millionen generierten Zufallsinseln lag die durchschnittliche CIBI-Punktzahl bei 0,243, mit einer Standardabweichung von 0,056.

Für Neugierige hier die CIBI-Punktzahlverteilung für die generierten Bretter:

Looking at average boards

Let’s have a look two boards with the average score:

This board has a few elements that score higher, namely the resource clustering, and the number clustering.

The effects of resource clustering are much more eye-catching than those of the number clustering. And the number clustering is a bit fast to get to high-values given that only 2 sets of numbers touching are needed to be at 0.333.

Maybe the resource clustering could be given greater weight in the final index. But no one said that the average should be considered a balance board!

This could merely indicate someone may want to look at lower scoring boards when looking for a truly balanced board!

Here is a second average scoring board

Here the score is again higher on number clustering, with the 9-10-11 in pair. And the Resource probability distribution being less fair.

Here is the breakdown:

• Bricks 7
• Grain 14
• Wool 8
• Ore 12
• Lumber 17

Which looks quite unbalanced, with the Forest having twice the probabilities than the pastures for the same number of tiles!

Is the average scoring board balanced?

On average, placing the elements randomly will make for boards that are playable, but we cannot really say that those are really well-balanced boards.

Building a truly balanced board takes time and needs careful consideration of several factors! (Oder, mit einem objektiven Maß, müssen wir nur die gewünschten Werte für jedes Maß definieren und nach dem Zufallsprinzip Bretter generieren, bis wir eines erhalten, das diese erfüllt!)

Nach all dem denke ich, dass das CIBI-Maß und seine Komponenten ein gutes Werkzeug sind, um ein Brett zu bewerten, das es erlaubt, sofort Probleme mit dem Gleichgewicht zu erkennen, die von Hand zu bewerten mehr Zeit in Anspruch nehmen würde!

Vergleich mit realen Brettern

Zum Vergleich wollen wir ein Brett betrachten, das in einem Turnier verwendet wurde. (Ich habe das erste genommen, das ich gefunden habe)

Hier können wir sehen, dass dieses Turnierbrett ziemlich ausgeglichen ist!

In der Tat würde es laut unserem Index zu den besten 0,2% der 100 Millionen zufällig generierten Bretter gehören.

Allerdings gibt es immer noch eine gewisse Häufung von Ressourcen, und einige Teile der Insel werden in Bezug auf die Wahrscheinlichkeiten bevorzugt. Es gibt also noch Verbesserungsmöglichkeiten!

Lassen Sie uns ein paar extreme Bretter finden!

Wenn wir erst einmal ein sehr ausgewogenes oder unausgewogenes Setup und ein leicht zu berechnendes Maß haben, ist es einfach, ein bestimmtes Brett zu optimieren, um noch extremere Setups zu erhalten!

Man könnte:

• Beginnen Sie mit der unausgewogensten von 100 Millionen, indem Sie nur die Ressourcenverteilung und das Clustering betrachten
• Nur die Zahlen auf dieser Insel randomisieren, um die Wahrscheinlichkeiten des Ungleichgewichts und des Zahlenclustering zu maximieren
• Schließlich randomisieren Sie die Häfen, um das schlimmstmögliche Brett zu erhalten.

Wie schlimm kann es werden? Sehen Sie selbst!

Für dieses letzte und wirklich unausgewogene Brett haben wir, glaube ich, eine gute 24% höhere Punktzahl gefunden. Die Häufung von allem ist offensichtlich, und die Wahrscheinlichkeiten für Ressourcen und Häfen sind entsprechend unausgewogen!

Ich bin wirklich neugierig, wie es sich spielen würde, ich bin auf jeden Fall bereit, es irgendwann einmal auszuprobieren!

Zum Schluss

Ich denke, dass der CIBI-Index insgesamt ein interessantes Maß ist, und zumindest ein gutes Experiment. Obwohl er verbessert werden kann, ist es leicht zu sehen, wie er eine gute Bewertung und Diskussion darüber ermöglicht, was ein ausgewogenes Brett ist.

Und obwohl ich persönlich nichts gegen unausgewogene Bretter habe, da sie ein interessantes Rätsel darstellen, denke ich, dass der CIBI-Index Spaß machen kann, auch wenn es nur darum geht, noch mehr verrückte Rätsel zu lösen!

Nun weiß ich, dass der beste Weg, um eine Vorstellung zu bekommen, darin bestünde, eine kleine interaktive App anzubieten, die es einem erlaubt, seine eigene Insel zu bauen oder sie nach dem Zufallsprinzip zu generieren und ihre Punktzahl selbst zu sehen. Aber das ist ein ganzes Projekt für sich. Ich werde es mir ansehen und sehen, was ich tun kann, wenn genug Leute Interesse daran zeigen!

In der Zwischenzeit gibt es für diejenigen, die gerne mehr Messetafeln sehen möchten, hier ein paar, die ihr verwenden könnt, bis ich es schaffe, ein webbasiertes Tool zu bauen, mit dem ihr spielen könnt!

Ausgewogene Catan-Bretter zum Spielen

Unausgewogene Catan-Bretter zum Spielen

Wenn Sie eher auf chaotische Spiele stehen, finden Sie hier eine Reihe von höchst unausgewogenen Brettern:

Was kommt jetzt?

Nachdem wir nun objektiv messen können, wie ausgewogen ein Catan-Brett ist, ist es an der Zeit, sich der meiner Meinung nach zentralen Frage zuzuwenden:

Sind ausgewogene Inseln fairer?

Und damit meine ich, dass manche Bretter einen unfairen Vorteil bieten, wenn man als erster oder letzter Spieler seine Siedlung zu Beginn des Spiels platziert?

If this question interests you, or if you think you know the answer, the next article should be of interest!

Coming Soon: What is a fair Catan island?

Hope you enjoyed my balance measure analysis!