Il a fréquenté la faculté d’agriculture de l’université de Zagreb, où il a étudié la viticulture et l’œnologie. Cependant, il apprend l’existence de la Californie et souhaite quitter la Yougoslavie de l’époque pour y devenir vigneron. En 1954, il quitte la Yougoslavie communiste pour l’Allemagne de l’Ouest, où il obtient une bourse pour étudier. De là, il a émigré au Canada et, en recevant finalement une offre d’emploi d’un établissement vinicole en Californie, Grgich a pu s’y rendre.
Après avoir travaillé dans plusieurs établissements vinicoles de la Napa Valley – dont Souverain Winery, Christian Brothers Cellars, Beaulieu Vineyard (aux côtés d’André Tchelistcheff) et Robert Mondavi – Grgich est devenu le vinificateur et le commanditaire de Chateau Montelena. Son Chardonnay du millésime 1973 a été sélectionné pour participer à la dégustation historique de Paris en 1976, où il a été classé premier vin blanc. Une version dramatisée de l’histoire est racontée dans le film Bottle Shock de 2008, qui n’a pas représenté Grgich parce qu' »il ne voulait pas en faire partie ».
Ce succès a permis à Grgich (avec son partenaire commercial Austin Hills de Hills Brothers Coffee) d’établir sa propre cave, Grgich Hills Cellar à Rutherford, en Californie. L’établissement, qui a changé de nom en 2006 pour devenir Grgich Hills Estate, possède 148 hectares de vignobles et produit 70 000 caisses de vin par an. Son tout premier millésime a remporté le Great Chardonnay Showdown, avec 221 concurrents de pays du monde entier.