Che cos’è una tavola di Catan equilibrata?

Con più di 22 milioni di copie vendute dalla sua creazione, Catan è, senza dubbio, uno dei giochi da tavolo più giocati al mondo.

Ci sono molte ragioni per il successo del gioco: il suo gameplay è semplice, veloce, e offre un buon equilibrio tra fortuna e strategia.

Ma con il tempo, e la recente diversificazione esplosiva dei giochi da tavolo, non è difficile trovare detrattori di Catan! Ma c’è una tonnellata di giocatori entusiasti di Catan, e anche se spesso tendo a gravitare verso giochi più pesanti, mi annovero tra loro!

Le critiche ai giochi sono spesso interessanti perché spesso c’è del vero in esse. Così ho deciso di indagare su alcuni e vedere cosa possiamo imparare da loro.

(Ma voglio solo qualche tavola di Catan equa o ingiusta da giocare)

Salta qui per vedere esempi di tavole di Catan equilibrate.

O se preferisci: Unbalanced Catan boards.

If however, you are interested in how I came up with those, read on, I think this is the interesting part!

Recurrent Catan criticisms

If you are familiar with online board game communities, you’ll often read criticism of Catan among the following lines:

• The game relies too much on randomness, with too many dice rolls.
• The initial setup of the island is often unbalanced, making some resources hard to get.
• The game is unfair, starting position usually determining who will win from the start.

It is easy to spot an apparent contradiction:

The winner is determined by the luck of dice during the game

OR

The winner is mostly determined by starting position (and mostly unaffected by what follows.)

You see, we already have a good mystery on our hands!

What to expect in this article

In today’s post, we will address the initial setup of the game, and try to answer the following question:

What is a balanced Catan board?

And to get started on this, we will do 4 things:

• Quickly look at what is the Catan Island initial setup
• Establish the difference between a balanced setup and a fair setup.
• Find an objective way to measure if a Catan island is well-balanced.
• Have a look at different initial boards and even have a peek at extreme board setups!

Here is a preview of my new metric, the Catan Island Balance Index:

Going deeper

Once you start digging into board balance, a more complex question quickly emerges:

Is a balanced board inherently fair?

In my next article, I’ll have a deeper look at how the players choose their first settlement and try to determine if the first, or last player has the most to gain by playing on certain boards! We will then try to determine what is a fair or unfair board and if balanced boards are fairer than others!

(Here is a sneak peek of a settlement selection simulation, when ignoring the resource types)

The randomness question should be addressed in a later article, dove cercherò di dare alcune prove concrete che la fortuna non gioca un ruolo così grande nel gioco. Ma dato che al momento si tratta principalmente di un’intuizione, forse i numeri ci sorprenderanno!

Ma l’equilibrio e l’equità sono già un grande programma, quindi cominciamo con quello. Speriamo di ottenere qualche informazione su Catan e magari di diventare giocatori migliori nel processo!

Se volete saltare la spiegazione iniziale del setup: Iniziate da qui

Disporre il contesto di gioco

Una partita di Catan si gioca su un’isola immaginaria, composta da:

• 19 tessere esagonali di risorse.
• 18 di esse associate a un numero da 2 a 12.
• 9 Porti che permettono un miglior tasso di scambio per le risorse.

Le tessere esagonali

Le tessere risorse esagonali sono posizionate una al centro, e il resto facendo due cerchi concentrici intorno ad essa.

There are 6 different types of tiles (each producing a different resource):

• 4 Fields (Grain)
• 4 Pastures (Wool)
• 4 Forest (Lumber)
• 3 Hills (Bricks)
• 3 Mountains (Ore)
• 1 Desert Tile ( No production )

The Numbers

Each tile on the island is attributed a number (except the desert tile).

The numbers go from 2 to 12, each being present twice except 2 and 12.

During the game, at the beginning of each player’s turn, the player rolls a pair of dice. The sum of both indicates which resources tiles will pay out. Ogni insediamento intorno a quelle tessere produrrà una carta risorsa per il suo proprietario (2 carte risorsa se l’insediamento è stato potenziato a città).

L’unica restrizione su come sono posizionati i numeri è che numeri ad alta probabilità, come 6 o 8, non possono essere su tessere adiacenti.

Harbors

Harbors sono posizionati intorno all’isola come se fossero sul proprio esagono di mare. Ognuno si connette con due angoli dell’esagono, e sono piazzati con al massimo una connessione porto per posizioni di insediamento intorno all’isola.

Durante il suo turno, un giocatore può scambiare 4 carte risorsa dello stesso tipo contro 1 carta risorsa di sua scelta.

I porti permettono ai giocatori di scambiare carte risorsa con un tasso di scambio migliore di quello predefinito.

Cinque porti sono di un tipo di risorsa specifico (uno per ogni tipo di risorsa). Permettono uno scambio di 2 carte del tipo di porto contro 1 carta di qualsiasi tipo (Notato da 2:1 sulla mappa).

Quattro porti sono porti neutrali che permettono lo scambio di 3 carte di un tipo contro 1 carta di qualsiasi tipo (Notato da 3:1 sulla mappa).

Posizionamento iniziale degli insediamenti

Il primo passo del gioco consiste nel posizionare gli insediamenti iniziali sulla tavola.

Gli insediamenti sono posizionati agli angoli degli esagoni. E quindi sono associati da 1 a 3 esagoni, a seconda di dove sono posizionati. Le strade sono posizionate ai lati degli esagoni e sono usate per collegare gli insediamenti.

Gli insediamenti non possono essere posizionati uno accanto all’altro. Hanno bisogno di almeno una posizione vuota tra loro.

All’inizio, ogni giocatore piazza, a turno, un insediamento e una strada collegata. Una volta fatto questo, tutti piazzano una seconda combo insediamento-strada, ma in ordine inverso.

Quindi l’ordine dei giocatori è: 1-2-3-4 4-3-2-1

Per complicare le cose, ogni giocatore riceve una carta risorsa per ogni casella che circonda il suo secondo insediamento. Quindi si tratta di una scelta difficile: assicurarsi una buona posizione o decidere di ottenere un vantaggio iniziale iniziando con carte risorse conosciute, ma con un payout di risorse inferiore.

È importante notare:

• Le risorse non hanno la stessa importanza durante il gioco,
• Alcune risorse sono più scarse di altre sull’isola.
• I numeri associati alle tessere non hanno le stesse probabilità di comparire.

Tutto questo rende alcuni punti dell’isola molto più interessanti di altri…

Qualche configurazione iniziale del tabellone è ingiusta?

Prima di tutto, due definizioni importanti:

Un tabellone Catan equilibrato è un tabellone in cui le risorse e le probabilità di lancio sono equamente distribuite sul tabellone, ma anche in cui le probabilità sono ben distribuite tra i tipi di risorse.

Un tabellone Catan equo è un tabellone in cui tutti i giocatori hanno le stesse possibilità di selezionare buone posizioni di partenza, indipendentemente dall’ordine in cui giocano.

Esattezza ed equilibrio non sono necessariamente la stessa cosa. E poiché l’equilibrio è più facile da determinare rispetto all’equità, cominciamo con l’equilibrio. Ci tornerà utile quando attaccheremo la questione dell’equità…

Come decidere la configurazione iniziale della tavola di Catan

Quando si imposta il gioco, si hanno fondamentalmente due scelte:

• Giocare sulla configurazione suggerita per i principianti.
• Randomatizzare le tessere per giocare su una configurazione unica.

La prima opzione può durare solo fino a quando diventa noioso giocare sempre la stessa tavola iniziale.

Randomizzare il tabellone è un modo semplice per offrire variazioni di gioco senza dover comprare un’estensione del gioco. E francamente, si guadagna un sacco di comprensione del gioco cercando di trovare cosa rende una buona posizione di partenza su un setup di gioco sempre rinnovato.

You can read my take on the importance of offering game variation in my previous post: Flamme Rouge a Study of Game Variability

Tuttavia, è inevitabile che a volte le persone trovino che un tabellone casuale possa essere sbilanciato, rendendo loro difficile piazzare i loro insediamenti iniziali su posizioni che offrono un buon assortimento di risorse, con una ragionevole probabilità di dadi associata ad esse.

Si può trovare una buona metrica per misurare oggettivamente se un tabellone è ben bilanciato? Questo sarebbe certamente utile per concordare una configurazione iniziale accettabile per tutti!

Stabilire una misura oggettiva dell’equilibrio

Partiamo dal seguente presupposto:

Se le risorse e le probabilità sono ben distribuite sulla tavola, ci saranno numerose posizioni di partenza equivalenti. I giocatori dovrebbero quindi avere simili possibilità di vincere all’inizio di una partita.

Siccome misurare la distribuzione degli elementi è un’idea piuttosto semplice, ho deciso di trovare un modo oggettivo per misurare quanto è equilibrata una tavola di Catan in termini di configurazione iniziale.

Ho anche dato un nome: l’indice di equilibrio dell’isola di Catan o CIBI.

Fatto poco noto:
Cibi è anche il nome di una danza di guerra delle Fiji.
Nel 1939, quando le Fiji si prepararono per il loro primo tour in Nuova Zelanda, il capitano, Ratu Sir George Cakobau, pensò che la sua squadra dovesse avere una danza di guerra da abbinare alla haka degli All Blacks. Si rivolse a Ratu Bola, l’alto capo del clan guerriero di Navusaradave in Bau, che insegnò loro il Cibi, che da allora è stato adottato come rituale pre-partita delle Figi e che è diventato l’unica squadra a rimanere imbattuta in un tour completo in Nuova Zelanda.
Estratto da WIkipedia.

E poiché Catan è un gioco competitivo che si svolge su un’isola, è un nome piuttosto appropriato!

Descriviamo quindi quello che è in effetti l’indice CIBI 1.0.

Potrei rivedere questo più tardi se le persone mostrano interesse nell’idea, o se io o altri scoprono modi migliori per approcciarla, ma penso che sia un ottimo inizio di conversazione sull’argomento!

What makes a Catan board well balanced

As I explained earlier, there are three elements that combine to form a Catan Island:

• Resource Tiles (What resource are produced)
• Roll Numbers (When resource are produced)
• Harbors (Allowing favorable exchange rates for resources)

How those three elements are combined is what makes a board well-balanced or not. I chose 6 different measures of balance and combined them for the ultimate balance index:

• Resources distribution on the island
• Resources clustering
• Probability distribution on the island
• Number Clustering
• Probability distribution per resources
• Harbor placement by resource type

Here is an explanation for each of those:

Misurare la distribuzione

Per misurare se le risorse o le probabilità sono distribuite uniformemente sull’isola di Catan, ho deciso di misurare quanto bene le cose sono distribuite sulla tavola dividendo l’isola in parti uguali.

Ci sono diversi modi di dividere l’isola in due. Ho deciso di farlo in modo da separare le posizioni degli insediamenti in due gruppi, senza che nessuno sia seduto sulla linea di divisione.

Come mostrato nel seguente diagramma, ci sono tre modi semplici per farlo:

Ecco come si usa per la distribuzione delle risorse:

Distribuzione delle risorse sull’isola

Perché la distribuzione spaziale delle risorse è la prima cosa che la gente vede quando guarda una tavola di Catan, la distribuzione delle risorse mi sembrava un buon elemento da includere in una misura di equilibrio.

Come calcolarla:

Prima di tutto, considera ogni possibile posizione di insediamento e conta la frequenza delle risorse collegate per ciascuna. Questi numeri sono usati per calcolare la distribuzione delle risorse nel modo seguente:

Considerando una linea di divisione alla volta:

• Per ogni lato, sommare la frequenza di ogni risorsa disponibile.
• Computare la differenza tra i lati per ogni tipo di risorsa.
• Somma il quadrato di ogni differenza per il punteggio finale

Fare questo per ogni 3 linee di divisione e sommarlo ci dà il nostro punteggio di distribuzione delle risorse.

Per illustrare, ecco il contributo al punteggio delle tessere delle risorse forestali, per una delle tre linee di separazione (36).

Facendo questo per ogni risorsa e ogni linea di separazione otteniamo un numero che rappresenta il bilancio della distribuzione delle risorse. Più basso è il più equilibrato, più alto è il meno equilibrato.

Se vi chiedete perché ho squadrato il numero, è semplicemente per dare più peso a un grande squilibrio per una risorsa che a diversi piccoli squilibri su più risorse!

Ecco come appare su alcuni tabelloni generati a caso, mostrati qui dal più equilibrato al meno equilibrato:

Sebbene più avanti riporti tutto su una scala da 0.0 a 1.0*, ho pensato che mostrare i numeri grezzi potesse essere interessante.

Nota che il punteggio più basso trovato per una tavola è 0, il che significa che l’isola è perfettamente equilibrata in termini di risorse quando si tratta delle 3 linee di divisione. Questa misura non può scendere più in basso, quindi mostra il limite di questa metrica.

Il limite superiore è, tuttavia, un limite morbido. Non ho calcolato esplicitamente il limite superiore teorico, né sto affermando che questo è il massimo squilibrio che una scheda può avere.

Il modo in cui ho proceduto è stato quello di generare 100 milioni di tavole casuali, assegnare un punteggio e mantenere le tavole con il punteggio più alto e più basso. (In realtà, ho fatto questo un paio di volte e ho aggiornato i punteggi più alti se ne ho trovato uno, ma questa è essenzialmente la stessa cosa). Penso che sia un approccio giusto, fatemi sapere se non siete d’accordo!

Mentre la distribuzione delle risorse sull’isola fornisce una misura interessante, non è l’unica componente della distribuzione delle risorse. Anche con un punteggio di 0, possiamo vedere un certo raggruppamento di risorse.

Così ho deciso di aggiungere una misura per affrontare specificamente questo problema.

Clustering di risorse

Per verificare che le risorse non siano tutte raggruppate in un gruppo sulla tavola, ho aggiunto una semplice misura di clustering:

Ogni volta che due esagoni dello stesso tipo condividono un bordo, ho contato 5 punti.

Ecco fatto!

Ecco cinque isole dalla meno clusterizzata alla più clusterizzata con il loro rispettivo punteggio:

Nota qui che nella tavola più equilibrata, non ci sono tessere dello stesso tipo che condividono un bordo!

Perché il raggruppamento delle risorse potrebbe essere visto un po’ ridondante con la precedente misura della distribuzione delle risorse, ho deciso di dare un’occhiata a quanto sono correlati questi due. Solo per vedere se entrambi misurano la stessa cosa.

Per fare questo, ho semplicemente creato un grafico che mette in relazione entrambe le misure per ogni scheda. Ogni punto sul seguente grafico è un’isola diversa:

Si può vedere che entrambe le misure sono correlate, ma non sono assolutamente la stessa cosa! Si può ancora avere un po’ di clustering in un’isola perfettamente specchiata, e non tutte le immagini speculari squilibrate sono completamente clusterizzate.

(Per i matematici, hanno un coefficiente di correlazione Pearson di: 0.686)

Un futuro indice CIBI potrebbe forse basarsi solo su uno di questi elementi, ma per il momento mi sono sentito portato a tenerli entrambi!

Distribuzione di probabilità per risorse

Su una tavola generata casualmente, sarebbe sorprendente che ogni risorsa finisca con la stessa probabilità di produrre sull’isola.

Per considerare l’equità della distribuzione di probabilità per tipo di risorsa, ho iniziato con la seguente assunzione:

• Le risorse dovrebbero avere una probabilità totale di pagare proporzionale alla loro presenza sul tabellone.

Quindi per ogni tipo di risorsa, ho considerato il rendimento atteso (produzione di risorse) di tutte le tessere su 36 lanci di dadi. Questo è facile da fare poiché è rappresentato dal numero di punti sotto ogni numero.

Per esempio, un esagono risorsa associato al numero 5, dovrebbe fruttare 4 volte ogni 36 lanci di dadi (in media).

C’è un totale di 58 punti per tutti i numeri in gioco. Il risultato più frequente di un lancio di dadi è il 7, con un conteggio previsto di 6… Ma non c’è il numero 7 su una tavola di Catan, questo numero viene invece utilizzato per attivare il rapinatore.

Ci sono 30 punti sotto i numeri rimanenti dal 2 al 12. E ogni numero è presente due volte sulla tavola, tranne il 2 e il 12. Quindi per i numeri duplicati abbiamo anche 30 punti, meno i 2 punti che sarebbero stati sotto il 2 e il 12. Quindi abbiamo 30 + (30 -2) = 58 punti sull’isola

58 punti distribuiti su 18 tessere esagonali.

Le risorse che hanno 4 tessere associate dovrebbero ottenere in media:

4 * 58 / 18 = 12,889 payout previsto (Grano, Lana, Legname)

E analogamente, le risorse con 3 tessere associate dovrebbero ottenere in media:

3 * 58 / 18 = 9.667 payout previsto (Brick, Ore)

Come calcolare la nostra misura della distribuzione delle probabilità delle risorse:

• Aggiungi le probabilità dei numeri dei rulli associati su 36 rulli per ogni tipo di risorsa (Conta i punti sotto i numeri per ogni risorsa).
• Eleva al quadrato la differenza tra le probabilità previste e quelle effettive per ogni tipo di risorsa.
• Somma tutte le differenze al quadrato!

Ecco una progressione dalla distribuzione di probabilità bilanciata a quella completamente sbilanciata per le risorse:

E’ interessante notare che qui il punteggio più basso è 1,0 invece di 0. È semplicemente perché, dal momento che consideriamo il payout atteso, i numeri non sono numeri rotondi, e quindi per quanto si cerchi di essere equilibrati, ci si ritrova sempre con risorse leggermente sopra o leggermente sotto il numero irraggiungibile, solo una stranezza della scelta della misura con cui dobbiamo convivere!

Distribuzione delle probabilità sul tabellone

Il ragionamento per la distribuzione delle probabilità è simile a quello per la distribuzione delle risorse, solo che invece di contare il numero di tessere risorse, contiamo le probabilità di ottenere risorse per ogni insediamento per entrambi i lati delle linee dello specchio.

Il punto è assicurarsi che le probabilità di ottenere risorse siano ben bilanciate tra ogni parte dell’isola.

Come per la distribuzione delle risorse, ho fatto quanto segue per ognuno dei tre possibili modi di dividere l’isola:

• Per ogni posizione di insediamento, conta il numero di punti sotto i numeri su ogni tessera circostante.
• Somma i punteggi degli insediamenti per ogni metà dell’isola.
• Quadra la differenza di punteggio tra le due metà.

Aggiungi il punteggio finale per ogni linea di divisione e otterrai il punteggio finale.

Ecco cinque isole dalla più distribuita alla meno distribuita:

Il raggruppamento dei numeri

Una delle cose più infide in Catan sono gli insediamenti che toccano due tessere diverse con lo stesso numero. Soprattutto se questo numero non viene fuori così spesso come le statistiche ci fanno credere.

Se i numeri effettivi vengono raggruppati sul tabellone, ciò ha il potenziale di aumentare notevolmente l’ingiustizia del lancio sfortunato dei dadi, e quindi dovrebbe essere considerato un fattore di squilibrio.

Qui stiamo facendo una cosa simile al raggruppamento delle risorse: Aggiungendo un punteggio di 5 ogni volta che due esagoni con lo stesso numero condividono un bordo.

Qui il limite finisce per essere 30. Ci sono due gettoni numero per i numeri tra 3 e 11 inclusi, escluso il 7. Tuttavia, secondo le regole, non consideriamo valide le tessere quando i due 6 o i due 8 sono adiacenti.

Questo ci lascia solo 3-4-5-9-10-11 che possono essere su tessere adiacenti. Sei numeri che potenzialmente segnano 5 ciascuno sono 30.

(Solo una nota veloce: i numeri sotto questo sono un po’ fuorvianti, a causa del modo in cui ho costruito quelle sequenze. Ho scelto l’isola migliore e peggiore, ho determinato il numero equamente distanziato e ho trovato la tavola con il punteggio più vicino a quello. Così qui 7.5 è tra 5 e 10, ma in realtà sta mostrando un’isola con un punteggio di 5).

Ecco come appare, dal più equilibrato al meno equilibrato:

Seguendo la stessa linea di pensiero che per la distribuzione delle risorse e il raggruppamento delle risorse, si potrebbe pensare che una misura di raggruppamento dei numeri dia risultati simili a quelli della misura della distribuzione delle probabilità. Ma graficando questi due insieme si ottiene un aspetto drasticamente diverso!

Questa volta possiamo vedere che la distribuzione di probabilità non è affatto correlata al clustering di numeri!

Se ci si ferma a pensarci, questo non è comunque così sorprendente.

C’è una maggiore varietà di numeri rispetto ai tipi di risorse, quindi, comparativamente, meno possibilità per i numeri di essere vicini effettivi. E poiché numeri diversi possono avere la stessa probabilità, è più facile distribuire le probabilità intorno all’isola senza raggruppare il numero allo stesso tempo!

(Per completezza, il coefficiente di correlazione di Pearson qui è: 0,068)

Posizionamento dei porti per tipo di risorsa

I porti sono un elemento importante del gioco di Catan. Offrono un miglior tasso di scambio per le risorse, permettendo di fare meno affidamento sulla volontà degli altri giocatori di commerciare durante il gioco. In quanto tali, possono davvero essere parte di una strategia vincente!

Le barriere sono di due tipi:

• 3:1 harbors let you exchange 3 cards of a type against any resource card of your choice.
• 2:1 harbors let you exchange 2 cards of the harbor resource type against the card of your choice.

This makes harbors of a specific type more appealing… if in addition they are connected to a high paying hexagon tile of the same type!

To create a harbor balance measure I decided to give a score to each harbor based on its expected return:

• Count the expected payout of each settlement connected to a harbor (counting as before the dots on the number tiles).
• Payout of the same type than the harbor type count double.
• Harbor’s score is the highest score of the settlements that connect to it.
• Using those, simply calculate the variance.

Here is an example of Harbor Scoring:

For the variance:

• Calcolate il rendimento di ogni porto sulla tavola.
• Calcolate la media.
• Poi, calcolate la differenza quadrata tra ogni punteggio e la media.
• Calcolate la media della differenza al quadrato

Questo vi dà la varianza: la distanza media dalla media (al quadrato).

Per la nostra misura, ho tenuto la somma della distanza al quadrato, invece di prendere la media, più vicina in grandezza alle altre misure. Potete dividere per 9 per ottenere la varianza se preferite!

Utilizzando questo, se tutti i porti offrono un payout alto, la misura sarà bassa, il che significa che abbiamo un tabellone equilibrato, e se tutti i porti offrono un payout povero, anche questo sarà considerato equilibrato. Solo se i valori sono distribuiti in modo diseguale da porto a porto, otterremo un punteggio alto!

Ecco un esempio, dal più al meno equilibrato.

Per aggiungere qualcosa su questa misura: valori alti dell’indice qui indicano ritorni dei porti selvaggiamente squilibrati, alcuni porti sono davvero interessanti da sistemare, e altri per niente.

Il rovescio della medaglia è che molte situazioni di porto bilanciate finiscono con l’avere per lo più vincite di porto poco interessanti. Forse questa misura potrebbe essere migliorata, ma ci dà alcune riflessioni interessanti sul posizionamento dei porti!

Come si somma il tutto

Ora che abbiamo tutti i componenti del nostro indice di equilibrio, come li mettiamo insieme?

Primo, ho deciso di dare la stessa importanza a tutte le misure precedenti. Per farlo ho ridotto ognuna di esse su una scala da 0,0 a 1,0*.

Note: The 1.0* being the highest value obtained on a 100 million board run, it means that some measure could exceed 1.0 on occasion, but probably not by much!

Per combinare le 6 misure, ho optato per una semplice media, che si traduce in quanto segue:

• Valori bassi dovrebbero significare che un consiglio ha ottenuto un punteggio basso in tutte le misure.
• I valori alti dovrebbero significare che una scheda ha ottenuto un punteggio alto in tutte le misure

E i valori medi… beh… indicano valori medi per tutti o un mix di valori alti e bassi.

C’è probabilmente un modo migliore per combinare tutte queste metriche, ma spesso hanno i loro svantaggi. Penso che la media sia un buon inizio. Fatemi sapere se pensate che un altro metodo sia più appropriato!

Come vi sembra?

Per darti un’idea, ho fatto lo stesso che per le misure individuali e ho estratto schede con valori rappresentativi dal basso all’alto:

Come tutti gli indici sintetici, l’indice CIBI dà un’idea dell’equilibrio della tavola, ma guardarlo includendo anche tutte le singole componenti è molto più interessante. Quindi diamo un’occhiata alle singole isole con tutti i loro punteggi associati!

Valutazione delle singole isole

Ora che abbiamo una misura oggettiva, possiamo controllare come le diverse isole ottengono un punteggio. E quale posto migliore per iniziare se non guardare l’isola suggerita per il principiante nel libro delle regole di Catan (almeno quella che ho qui) e vedere come se la cava: