バランスのとれたカタンボードとは

誕生以来2200万本以上売れたカタンは、間違いなく、世界で最もプレイされているボードゲームの1つです。

このゲームの成功には多くの理由があります。そのゲームプレイはシンプルで速く、運と戦略のバランスが取れています。

しかし時代とともに、また近年のボードゲームの爆発的な多様化により、カタンを否定する人を見つけるのは難しいことではありません!

ゲームの批評は、しばしば真実があるため、興味深いものです。

(ただ、プレイするために、公平または不公平なカタン ボードが欲しいだけです)

バランスのとれたカタン ボードの例を見るには、ここにジャンプしてください。 Unbalanced Catan boards.

If however, you are interested in how I came up with those, read on, I think this is the interesting part!

Recurrent Catan criticisms

If you are familiar with online board game communities, you’ll often read criticism of Catan among the following lines:

• The game relies too much on randomness, with too many dice rolls.
• The initial setup of the island is often unbalanced, making some resources hard to get.
• The game is unfair, starting position usually determining who will win from the start.

It is easy to spot an apparent contradiction:

The winner is determined by the luck of dice during the game

OR

The winner is mostly determined by starting position (and mostly unaffected by what follows.)

You see, we already have a good mystery on our hands!

What to expect in this article

In today’s post, we will address the initial setup of the game, and try to answer the following question:

What is a balanced Catan board?

And to get started on this, we will do 4 things:

• Quickly look at what is the Catan Island initial setup
• Establish the difference between a balanced setup and a fair setup.
• Find an objective way to measure if a Catan island is well-balanced.
• Have a look at different initial boards and even have a peek at extreme board setups!

Here is a preview of my new metric, the Catan Island Balance Index:

Going deeper

Once you start digging into board balance, a more complex question quickly emerges:

Is a balanced board inherently fair?

In my next article, I’ll have a deeper look at how the players choose their first settlement and try to determine if the first, or last player has the most to gain by playing on certain boards! We will then try to determine what is a fair or unfair board and if balanced boards are fairer than others!

(Here is a sneak peek of a settlement selection simulation, when ignoring the resource types)

The randomness question should be addressed in a later article, 運がゲームにそれほど大きな影響を与えないという確かな根拠を示そうと思います。 しかし、現時点では主に直感なので、もしかしたら数字に驚かされるかもしれません！

しかし、バランスと公平性はすでに大きなプログラムになっているので、まずはそこから始めましょう。 うまくいけば、Catan についての洞察を得ることができ、その過程でより良いプレイヤーになれるかもしれません！

初期設定の説明を省略したい場合は、こちらをご覧ください。

ゲームの背景を説明する

カタン ゲームは架空の島でプレイされ、以下のもので構成されます:

• 19 枚の六角形の資源タイル
• 18 枚のタイルには 2 から 12 までの数字が付いている。
• 9 つの港があり、資源の交換率が高くなります。

六角形のタイル

六角形の資源タイルは中央に一つ、残りはその周りに同心円状に二つ置かれます。

There are 6 different types of tiles (each producing a different resource):

• 4 Fields (Grain)
• 4 Pastures (Wool)
• 4 Forest (Lumber)
• 3 Hills (Bricks)
• 3 Mountains (Ore)
• 1 Desert Tile ( No production )

The Numbers

Each tile on the island is attributed a number (except the desert tile).

The numbers go from 2 to 12, each being present twice except 2 and 12.

During the game, at the beginning of each player’s turn, the player rolls a pair of dice. The sum of both indicates which resources tiles will pay out.

数字の配置に関する唯一の制限は、6や8のような高い確率の数字が、隣接するタイル上に存在できないことです。

港

港は、あたかも自分の海の六角形のように島の周囲に配置されます。

手番中、プレイヤーは同じ種類の資源カード4枚を、選択した資源カード1枚と交換できます。

港は、プレイヤーが資源カードをデフォルトよりも良い交換率で交換することを可能にします。

4つの港は中立の港で、1つのタイプのカード3枚と、あらゆるタイプのカード1枚を交換できます（マップ上では2:1で表記されています）。

Initial settlement placement

ゲームの最初のステップはボード上に初期の入植地を配置することです。

入植地は六角形の角に配置されます。

集落はヘキサゴンの角に配置され、配置された場所によって1～3個のヘキサゴンに関連付けられます。

集落は隣り合わせに配置することはできません。

最初に、各プレイヤーは順番に1つの集落と1つの道路を配置します。

初めに各プレイヤーは順番に集落と道路を1つずつ配置します。

つまり、プレイヤーの順番は次のようになります。 1-2-3-4 4-3-2-1

複雑なことに、それぞれのプレイヤーは自分の第2の集落を囲むタイル1枚につき資源カード1枚を貰えるのです。

注意点:

• ゲーム中、資源の重要性は同じではありません。
• ある資源は島で他の資源より希少です。
• タイル関連の数字は、出てくる確率が同じではありません。

これらすべてにより、島の特定の場所が他の場所よりもずっと面白くなります…

いくつかの初期ボード設定は不公平ですか

まず、2 つの重要な定義があります。

バランスのとれたカタンボードとは、ボード上で資源とロール確率が平等に分布し、さらに確率が資源タイプ間で適切に分布しているボードのことです。

公平なカタンボードとは、どの順番でプレイしても、すべてのプレイヤーが良い開始位置を選択するチャンスが等しくあるボードのことです。

公平とバランスは、必ずしも同じものではありません。 そして、バランスは公平よりも判断しやすいので、まずはバランスから考えてみましょう。

カタンのボードの初期設定の決め方

ゲームを設定するとき、基本的に 2 つの選択肢があります:

• 推奨される初心者用ボードの設定でプレイする。
• タイルをランダムにして独自の設定でプレイする。

常に同じ初期設定でプレイするとうんざりするので、最初の選択肢は長くは続かないでしょう。

ボードのランダム化は、ゲーム拡張機能を購入することなく、ゲームのバリエーションを提供する簡単な方法です。 そして率直に言って、常に更新されるゲーム設定で何が良い開始位置となるかを見つけようとすることで、ゲームに対する多くの理解を得ることができます。

You can read my take on the importance of offering game variation in my previous post: Flamme Rouge a Study of Game Variability

しかし、時には、ランダムなボードがアンバランスで、リソースの良いアソートとそれに関連する妥当なダイス確率がある位置に最初の入植地を置くことが困難であることに気づくことは避けられません。

バランスの客観的な尺度を確立する

次の仮定から始めましょう：

リソースと確率がボード上にうまく配分されていれば、多数の同等のスタート位置が存在することになります。

要素の分布を測定することは非常に単純なアイデアなので、初期設定の観点から、カタン ボードがどの程度バランスが取れているかを測定する客観的な方法を考え出すことにしました。

私はそれを「カタン島バランス指数（CIBI）」と名付けました。

あまり知られていませんが、
Cibi はフィジーの戦争ダンスの名前でもあります。 その結果、フィジーの試合前の儀式として採用され、その後、ニュージーランド遠征で無敗を維持した唯一のチームとなった。

そして、カタンは島で行われる対戦ゲームなので、これはむしろふさわしい名前です！

では、実質的にCIBIインデックス1.0とは何かについて説明しましょう。

このアイデアに興味を示す人がいたり、私や他の人がよりよい方法を発見したりしたら、後でこれを見直すかもしれませんが、このテーマに関する非常によい会話のきっかけになると思います!

What makes a Catan board well balanced

As I explained earlier, there are three elements that combine to form a Catan Island:

• Resource Tiles (What resource are produced)
• Roll Numbers (When resource are produced)
• Harbors (Allowing favorable exchange rates for resources)

How those three elements are combined is what makes a board well-balanced or not. I chose 6 different measures of balance and combined them for the ultimate balance index:

• Resources distribution on the island
• Resources clustering
• Probability distribution on the island
• Number Clustering
• Probability distribution per resources
• Harbor placement by resource type

Here is an explanation for each of those:

分布の測定

リソースや確率がカタン島に均等に分布しているかどうかを測定するために、島を等分に分割して、ボード上でどの程度物が広がっているかを測定することにしました。

島を 2 つに分割する方法にはさまざまなものがあります。 私は、集落の場所を2つのグループに分け、分割線に何も座らない方法で行うことにしました。

次の図に示すように、簡単にできる方法は 3 つあります:

ここでは、リソース分布にどのように使用されるかを説明します。

島でのリソース分布

リソースの空間的な分布は、人々がカタン盤を見るときに最初に見るものなので、リソース分布はバランス指標に含めるべき良い要素のように感じられました。

計算方法:

まず、考えられる各集落の位置を考慮し、それぞれについて接続されているリソースの頻度を数えます。

一度に 1 つの分割線を考慮します。

• 各側について、利用可能な各資源の頻度を合計します。
• 各資源タイプについて側間の差を計算します。
• 各差の二乗を合計して、最終的なスコアとします

これを 3 分割線それぞれに対して行って合計すると、資源分布スコアになります。

説明するために、3 つの分割線の 1 つ (36) について、森林資源タイルによるスコアへの貢献を示します。

これをそれぞれの資源とそれぞれの分割線に対して行うことにより、資源の分配バランスを表す数値が得られます。

なぜ数値を二乗したのか不思議に思うかもしれませんが、それは単に、1 つのリソースに対する大きな不均衡に、複数のリソースに対する小さな不均衡よりも、より大きな重みを与えるためです!

ランダムに生成されたボードでどのように見えるか、ここでは最もバランスの取れたものからそうでないものまで示しています。

後ですべて 0.0 から 1.0* へのスケールへ戻す一方で、生の数値を表示すると面白いかもしれないと考えています。

ボードで見つかった最低のスコアは 0 で、これは、3 つの分割線に関して、島がリソースの面で完全にバランスが取れていることを意味します。

ただし、この上限はソフト リミットです。 私は理論的な上限を明確に計算したわけではありませんし、これが最も不均衡なボードであると主張しているわけでもありません。

私が行った方法は、1 億個のランダムなボードを生成し、それらを採点し、最高得点と最低得点のボードを保持することでした。 (実際には、これを 2 回ほど行い、最高得点を見つけた場合は更新しましたが、これは本質的に同じことです)。 私はこれが公平なアプローチだと思いますが、もし反対なら教えてください！

島の構成要素でのリソース分布は興味深い指標を与えますが、それはリソース分布の唯一の構成要素ではありません。 スコアが 0 の場合でも、いくつかのリソースのクラスタリングを見ることができます。

そこで、特にその問題に対処するための指標を追加することにしました。

リソースのクラスタリング

ボード上の 1 つのグループにすべてのリソースが集まっていないことを確認するために、簡単なクラスタリング指標を追加しました。

以上です。

以下は、クラスター化されていない島から最もクラスター化されている島までの 5 つの島とそれぞれのスコアです。

最もバランスのとれたボードよりもここに注目、同じタイプのタイルで国境がない！

Most balanced island from the 100 millions according to CIBI index as to the 100 millions from the chartered board?

そして、1億個の島で見つかった最も悪いCIBIバランスのボードを見てみると、プレイするにはちょっと悪夢のような感じです!

リソースと数が激しく集中した、非常にバランスの悪いボードがあることがわかります。 しかし、意外なことに、これほど悪い盤面にはならないことが簡単にわかります! 港を移動させるだけで、港のリターン バランスでより高いスコアが得られ、CIBI 指数をさらに高くすることができます！

これは、可能なカタンのボードの数が非常に多いことを示しています!

1億個のランダムな盤面を見た後でも、ランダムな盤面の悪い方をさらに悪くすることができることが簡単にわかるでしょう。 その 1 億は、すべての可能な島の配置のごく一部に過ぎないということです。 この広い空間には、確実に極端なボードが存在します！

1億個の生成ボードからボードを見る

1億個の生成ランダム島の範囲では、平均 CIBI スコアは 0.243 で、標準偏差は 0.056 でした。

興味本位で、生成ボードの CIBI スコア分布を示しておきましょう。

Looking at average boards

Let’s have a look two boards with the average score:

This board has a few elements that score higher, namely the resource clustering, and the number clustering.

The effects of resource clustering are much more eye-catching than those of the number clustering. And the number clustering is a bit fast to get to high-values given that only 2 sets of numbers touching are needed to be at 0.333.

Maybe the resource clustering could be given greater weight in the final index. But no one said that the average should be considered a balance board!

This could merely indicate someone may want to look at lower scoring boards when looking for a truly balanced board!

Here is a second average scoring board

Here the score is again higher on number clustering, with the 9-10-11 in pair. And the Resource probability distribution being less fair.

Here is the breakdown:

• Bricks 7
• Grain 14
• Wool 8
• Ore 12
• Lumber 17

Which looks quite unbalanced, with the Forest having twice the probabilities than the pastures for the same number of tiles!

Is the average scoring board balanced?

On average, placing the elements randomly will make for boards that are playable, but we cannot really say that those are really well-balanced boards.

Building a truly balanced board takes time and needs careful consideration of several factors! (

結局のところ、CIBI 測定とその構成要素は、ボードを評価するための良いツールであり、手作業で評価するにはもっと時間がかかるバランス問題をすぐに見つけることができると思います

現実のボードとの比較

比較のために、トーナメントで使われたボードをチェックしてみましょう。 (最初に見つけたものをピックアップしました)

ここで、このトーナメントボードがかなりバランスが良いことが分かります!

実際、私たちの指標によると、1 億のランダム生成ボードの上位 0.2% に入ります。

しかし、まだいくつかのリソースのクラスタリングがあり、島のいくつかの部分が確率の点で有利になっています。

極端なボードを見つけよう

一度、高度にバランスのとれた、またはバランスの悪い設定と簡単に計算できる尺度を手に入れると、特定のボードを微調整して、さらに極端な設定を得ることは簡単であることに注意してください!

たとえば、次のようなことが考えられます:

• リソース分布とクラスタリングだけを見て、1 億のうち最もバランスの悪いものから始める
• その島の数字だけをランダム化して、確率の不均衡と数字のクラスタリングを最大化する
• 最後に、港をランダム化して最悪の盤面にする

どれだけ悪くできるでしょうか?

この最後の、本当にバランスの悪いボードについて、私は、良い 24% 高いスコアを見つけることができたと考えています。

実際に、どのようにプレイするのか興味があります。

また、アンバランスなボードは面白いパズルになるので、個人的には気にしませんが、CIBI 指数は、さらに奇妙なパズルを見つけるだけでも楽しいと思います

さて、アイデアを得るための最善の方法は、小さな対話型アプリを提供して、自分の島を構築したり、ランダムに生成して自分の目でスコアを確認できることだと思います。 でも、これ自体が完全なプロジェクトなんです。

その間に、もっとフェアボードを見たい人のために、ウェブベースのツールを構築するまでの間、ここでいくつかのツールを使って遊べます!

バランスのとれたカタンボード

アンバランスなカタンボード

あなたが混沌としたゲームにより夢中なら、ここに非常にバランスの悪いボードがたくさんあります。

次は何でしょう?

カタンのボードがどれだけバランスが取れているかを客観的に測定できるようになったので、そろそろ核心となる質問に移りましょう。

バランスのとれた島はより公平か

つまり、ゲームの最初にその入植地を配置する最初のプレイヤーまたは最後のプレイヤーであれば、ボードによっては不当に有利かどうかということです。

If this question interests you, or if you think you know the answer, the next article should be of interest!

Coming Soon: What is a fair Catan island?

Hope you enjoyed my balance measure analysis!