Navštěvoval Zemědělskou fakultu Záhřebské univerzity, kde studoval vinařství a enologii. Poznal však Kalifornii a chtěl opustit tehdejší Jugoslávii a stát se tam vinařem. V roce 1954 odešel z komunistické Jugoslávie do západního Německa, kde získal stipendium ke studiu. Odtud emigroval do Kanady a poté, co konečně dostal pracovní nabídku z vinařství v Kalifornii, mohl Grgich odjet.
Po práci v řadě vinařství v údolí Napa – včetně Souverain Winery, Christian Brothers Cellars, Beaulieu Vineyard (pracoval po boku André Tchelistcheffa) a Roberta Mondaviho – se Grgich stal vinařem a komanditistou v Chateau Montelena. Jeho Chardonnay z ročníku 1973 bylo vybráno do historické soutěže Paris Wine Tasting 1976, kde se umístilo na prvním místě mezi bílými víny. Zdramatizovanou verzi tohoto příběhu vypráví film Bottle Shock z roku 2008, který Grgicha nezobrazuje, protože „nechtěl být jeho součástí“.
Tento úspěch umožnil Grgichovi (s obchodním partnerem Austinem Hillsem z Hills Brothers Coffee) založit vlastní vinařství Grgich Hills Cellar v Rutherfordu v Kalifornii. Vinařství, které se v roce 2006 přejmenovalo na Grgich Hills Estate, vlastní 366 akrů (148 ha) vinic a ročně vyrobí 70 000 beden vína. Hned jeho první ročník zvítězil v soutěži Great Chardonnay Showdown, v níž se utkalo 221 konkurentů ze zemí celého světa.