Die vertraute, hierarchische Abfolge des Mathematikunterrichts beginnt mit dem Zählen, gefolgt von Addition und Subtraktion, dann Multiplikation und Division. Der Rechenbereich wird mit immer größeren Zahlen erweitert, und irgendwann kommen auch Brüche ins Spiel. Im frühen Jugendalter werden die Schüler dann mit Zahlen- und Buchstabenmustern vertraut gemacht, und zwar in einem völlig neuen Fach, der Algebra. Eine Minderheit der Schüler durchläuft dann die Geometrie, die Trigonometrie und schließlich die Infinitesimalrechnung, die als Höhepunkt der Mathematik auf High-School-Niveau gilt.
Aber diese Progression „hat eigentlich nichts damit zu tun, wie Menschen denken, wie Kinder wachsen und lernen oder wie Mathematik aufgebaut ist“, sagt die Pionierin im Bereich der Mathematikpädagogik und Lehrplanentwicklerin Maria Droujkova. Sie schließt sich einer Reihe von Stimmen aus der ganzen Welt an, die die Art und Weise, wie Mathematik gelehrt wird, revolutionieren und mit diesen Grundsätzen in Einklang bringen wollen.
Die derzeitige Abfolge ist lediglich ein historischer Unfall, der einen Großteil des Spaßes aus dem nimmt, was sie als „spielerisches Universum“ der Mathematik bezeichnet, mit ihren mehr als 60 Spitzendisziplinen und ihren Manifestationen in allem, vom Weben bis zum Bauen, der Natur, der Musik und der Kunst. Schlimmer noch, der Standardlehrplan beginnt mit der Arithmetik, die Droujkova zufolge für kleine Kinder viel schwieriger ist als spielerische Aktivitäten, die sich auf vermeintlich fortgeschrittenere Bereiche der Mathematik stützen.
„Die Berechnungen, zu denen Kinder gezwungen werden, sind oft so unangemessen für ihre Entwicklung, dass die Erfahrung einer Folter gleichkommt“, sagt sie. Außerdem gehen sie am Wesentlichen vorbei – dass es in der Mathematik im Grunde um Muster und Strukturen geht und nicht um „kleine Zahlenmanipulationen“, wie sie es nennt. Das ist wie bei angehenden Filmemachern, die zuerst etwas über Kostüme, Beleuchtung und andere technische Aspekte lernen, anstatt eine sinnvolle Geschichte zu schreiben.
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Das führt dazu, dass viele Kinder von klein auf von der Mathematik abgeschreckt werden. Es hindert auch viele andere daran, Mathe so effizient oder tiefgründig zu lernen, wie sie es sonst könnten. Droujkova und ihre Kollegen haben festgestellt, dass die meisten Erwachsenen, die sie treffen, „Mathe-Kummergeschichten“ haben, wie sie es nennt. Sie erinnern sich daran, wie ein einziger Kurs – oder sogar ein einziges Thema, wie z. B. Bruchrechnung – sie von der sequentiellen Schiene abgebracht hat. Sie selbst hat beobachtet, wie mehr als ein paar Erwachsene „während der Interviews in Tränen ausbrachen, weil sie die Ängste und verlorenen Hoffnungen ihrer Jugend noch einmal durchlebten.“
Droujkova, die in den Vereinigten Staaten in Mathematik promoviert hat, nachdem sie aus der Ukraine eingewandert war, befürwortet einen ganzheitlicheren Ansatz, den sie „natürliche Mathematik“ nennt und den sie Kindern ab dem Kleinkindalter und ihren Eltern beibringt. Dieser Ansatz wird in dem von ihr gemeinsam mit Yelena McManaman verfassten Buch „Moebius Noodles: Abenteuerliche Mathematik für Kinder auf dem Spielplatz“, beruht darauf, den starken und überraschend produktiven Instinkt der Schüler für spielerische Erkundungen zu nutzen, um sie auf eine persönliche Reise durch das Thema zu führen. Droujkova: „Studien haben gezeigt, dass Kinder durch Spiele oder freies Spiel effizient lernen und dass sie Spaß daran haben. Sie weisen auch den Weg zu einer strukturierteren und noch kreativeren Arbeit, bei der es darum geht, mathematische Muster zu erkennen, neu zu mischen und zu konstruieren.“
Um einen geeigneten Weg zu finden, muss man eine oft übersehene Tatsache anerkennen: „Die Komplexität der Idee und die Schwierigkeit, sie umzusetzen, sind getrennte, unabhängige Dimensionen“, sagt sie. „Leider ist vieles, was kleinen Kindern angeboten wird, einfach, aber schwer – primitive Ideen, die für Menschen schwer umzusetzen sind“, weil sie die Grenzen des Arbeitsgedächtnisses, der Aufmerksamkeit, der Präzision und anderer kognitiver Funktionen überfordern. Beispiele für Aktivitäten, die in den Quadranten „einfach, aber schwer“ fallen: Das Bauen eines Grabens mit einem Löffel (eine militärische Strafe, die viele kleine, sich wiederholende Aufgaben beinhaltet, ähnlich wie 100 zweistellige Additionsaufgaben auf einem typischen Arbeitsblatt, wie Droujkova betont) oder das Auswendiglernen des Einmaleins als einzelne Fakten und nicht als Muster.
Viel besser sei es, damit zu beginnen, reichhaltige und soziale mathematische Erfahrungen zu schaffen, die komplex sind (so dass sie in viele verschiedene Richtungen gehen können) und dennoch einfach (so dass sie zum sofortigen Spielen einladen). Aktivitäten, die in diesen Quadranten fallen: ein Haus mit LEGO-Steinen bauen, Origami oder Schneeflocken ausschneiden oder eine „Funktionsbox“ verwenden, die Objekte umwandelt (und auch in Kombination mit einer zweiten Maschine verwendet werden kann, um Funktionen zu komponieren, oder rückwärts, um eine Funktion zu invertieren und so weiter).
„Man kann jeden Zweig der Mathematik nehmen und darin Dinge finden, die sowohl komplex als auch einfach sind“, sagt Droujkova. „Mein Ziel ist es, zusammen mit einigen Kollegen auf der ganzen Welt, den Schatz der Mathematik zu heben und zugängliche Wege in alle Bereiche zu finden.“
Sie begann mit Algebra und Infinitesimalrechnung, weil sie „Werkzeuge für Musterzeichner, Designer und Macher sind – sie unterstützen ein cooles freies Spiel.“ So enthält „Moebius Noodles“ Aktivitäten wie das Erstellen von Fraktalen (um das Verständnis für die Ideen der Rekursion und der Infinitesimalen zu fördern) und „Spiegelbücher“ (Spiegel, die wie Buchdeckel aneinander geklebt werden und in verschiedenen Winkeln um ein Objekt herum gedreht werden können, um die Konzepte der Unendlichkeit und der Transformationen einzuführen). (Ein weiteres Buch dieses Genres ist „Calculus by and for Young People“ von Don Cohen)
„Es handelt sich nicht um das Thema der Infinitesimalrechnung, wie es formal an der Universität gelehrt wird“, bemerkt Droujkova. „Aber bevor wir dazu kommen, wollen wir ein praktisches, geerdetes, metaphorisches Spiel haben. Auf der Ebene des freien Spiels lernt man auf eine sehr grundlegende Art und Weise – man macht sich sein Konzept wirklich zu eigen, geistig, körperlich, emotional und kulturell.“ Dieser Ansatz „gibt Ihnen tiefe Wurzeln, so dass der Baldachin der hohen Abstraktion nicht verdorrt. Was man ohne Spiel lernt, ist qualitativ anders. Es hilft beim Ablegen von Tests und banalen Übungen, aber es trägt nichts zum logischen Denken und zur Problemlösung bei.
Sie erwartet nicht, dass Kinder im Alter von fünf Jahren in der Lage sind, formale Gleichungen zu lösen, aber das ist in Ordnung. „Es gibt verschiedene Stufen des Verständnisses“, sagt sie. „Man will die Menschen nicht zu früh auf ein formales Verständnis festnageln.“ Nach der informellen Ebene kommt die Ebene, auf der die Schüler Ideen diskutieren und Muster erkennen. Dann kommt die formale Ebene, auf der die Schüler abstrakte Wörter, Diagramme und Formeln verwenden können. Im Idealfall wird jedoch ein spielerischer Aspekt auf dem gesamten Weg beibehalten. „Das ist es, was Mathematiker tun – sie spielen mit abstrakten Ideen, aber sie spielen immer noch.“
Droujkova merkt an, dass die natürliche Mathematik – deren Slogan lautet: „Make math your own, to make your own math“ – im Wesentlichen eine „Freiheitsbewegung“ ist. She explains: „Wir setzen uns auf vielen Ebenen für die Freiheit ein – das freie Spiel kleiner Kinder, die Eigenständigkeit von Familien und lokalen Gruppen bei der Organisation von Matheaktivitäten, die Autonomie von Künstlern und Machern und sogar die Freiheit für uns Lehrplangestalter. … Kein einzelnes Stück Mathematik ist für jeden das Richtige. Die Menschen sind verschieden, und sie müssen sich der Mathematik auf unterschiedliche Weise nähern.“
In einer Gruppe, die sich mit den Eigenschaften von Rauten beschäftigt, könnte zum Beispiel ein künstlerisch veranlagter Mensch lieber eine Raute zeichnen, ein Programmierer eine programmieren, ein Philosoph über das Wesen von Rauten diskutieren und ein Origami-Meister eine Papierraute falten.
Nicht jeder muss ein bestimmtes Stück Mathematik lernen, abgesehen von dem, was für das Funktionieren in seiner oder ihrer Kultur unerlässlich ist. Viele Menschen leben bis ins hohe Alter, ohne z. B. rechnen zu können. „Gleichzeitig wäre die Welt mit einer höheren mathematischen Kompetenz besser dran, und die Menschheit als Ganzes braucht fortgeschrittene Mathematik, um die nächsten 100 Jahre zu überstehen, denn es gibt ziemlich komplexe Probleme, mit denen wir konfrontiert sind.“
Kinder müssen einer Vielzahl von Mathematikstilen ausgesetzt werden, um denjenigen zu finden, der ihnen am besten liegt. Aber sie müssen auch sehen, wie (für sie) bedeutungsvolle Menschen sinnvolle Dinge mit Mathematik tun und Spaß daran haben. Mathezirkel, in denen sich die Menschen gegenseitig helfen, wachsen schnell und sind eine Möglichkeit, dies zu erreichen. Mathe-Know-how (Aktivitäten und Beispiele) „muss mit Praxisgemeinschaften einhergehen, die Neulingen helfen, damit umzugehen“, sagt Droujkova. „Das eine funktioniert nicht ohne das andere.“
Wenn das Lernen so effizient und tiefgreifend wie möglich sein soll, ist es wichtig, dass es frei erfolgt. Das bedeutet, dass die Kinder mitbestimmen können, an welchen Aktivitäten sie teilnehmen, wie lange und auf welchem Niveau sie diese beherrschen wollen. („Das ist der größte Widerspruch zur traditionellen Lehrplanentwicklung“, merkt Droujkova an.)
Erwachsene müssen darauf vorbereitet sein, wenn ein Kind lieber etwas anderes tun möchte als die geplante Aktivität. Droujkova: „Die Rolle der Erwachsenen ist es, zu inspirieren, indem sie Dinge sagen wie: ‚Oh, was für eine komplexe Form – hast du bemerkt, dass die Kurve aus geraden Linien besteht?‘ Stellen Sie mathematische Bezüge zu dem her, was die Kinder gerade tun. Das ist nicht ganz einfach – es erfordert sowohl pädagogisches als auch mathematisches Wissen, aber man kann es lernen. Und jeder kann leicht allgemeine Unterstützung geben: Das ist sehr interessant, ich werde mehr darüber herausfinden. Man kann dann im Internet nachsehen oder in einem Mathezirkelforum nachfragen, um herauszufinden, was es mathematisch bedeutet.“
Es ist auch hilfreich, eine Vielzahl interessanter Materialien zur Hand zu haben und damit einverstanden zu sein, dass die Kinder bei Bedarf Pausen machen. Droujkova hat festgestellt, dass in den meisten Gruppen ein oder zwei Kinder etwas anderes tun, während der Rest sich mit der Hauptaktivität beschäftigt. (Die Nicht-Teilnehmer nehmen immer noch erstaunlich viel auf, fügt sie hinzu.)
Die Kritik kommt vor allem aus zwei sehr unterschiedlichen (und meist gegensätzlichen) Lagern. Das eine ist die „Lasst Kinder Kinder sein“-Kohorte, die befürchtet, dass die Legitimierung der Idee, Kleinkinder mit Algebra und Kalkül zu beschäftigen, Tiger Mom-Typen dazu verleiten wird, ihre Kinder in diesen Fächern in immer jüngerem Alter zu formalen Abstraktionen zu drängen, obwohl das völlig am Thema vorbeigehen würde. Andere Kritiker gehören zum Lager der „Zurück zu den Grundlagen“-Kritiker, die behaupten, dass all diese Spielereien die Kinder daran hindern werden, in den traditionellen Rechenfertigkeiten flüssig zu werden.
Droujkova sieht diese Kritik als Hinweis auf etwas viel Größeres: „Sie spiegeln ziemlich tiefe Abgründe zwischen verschiedenen Bildungsphilosophien wider, oder, allgemeiner ausgedrückt, Unterschiede in der Zukunft, die wir den Kindern ebnen. Wenn wir viele ähnliche Aufgaben stellen, stellen wir uns Kinder in Situationen vor, die industrielle Präzision erfordern. Wenn man Kindern dagegen Logikrätsel oder offene Projekte gibt, wird der Wunsch geweckt, dass sie zu Entdeckern oder Designern heranwachsen. „So direkt funktioniert das nicht“, räumt sie ein, „aber diese Überzeugungen diktieren, welchen Mathematikunterricht die Erwachsenen für die Kinder auswählen oder gestalten.“
Es gibt auch einige, die sich Sorgen machen, ob dieser Ansatz für benachteiligte Bevölkerungsgruppen praktikabel ist. Droujkova sagt, dass es von jedem „einigermaßen gebildeten“ Erwachsenen geleitet werden kann; der Schlüssel ist das richtige Unterstützungsnetzwerk. Sie und ihre Kollegen bemühen sich, lokale Netzwerke zu stärken und die Zugänglichkeit in allen Bereichen zu verbessern: mathematisch, kulturell und finanziell. Sie haben ihre Materialien und Kurse unter Creative Commons zugänglich gemacht und Aktivitäten entwickelt, die nur leicht verfügbare Materialien erfordern.
„Das Know-how darüber, wie man gemeinschaftsorientiertes, offenes Lernen für benachteiligte Bevölkerungsgruppen zugänglich macht, wächst“, stellt Droujkova fest und zitiert Experimente von Sugata Mitra und Dave Eggers. Online-Knotenpunkte können gleichgesinnte Gemeinschaftsmitglieder miteinander verbinden, und Online-Kurse und -Unterstützung stehen Eltern, Lehrern und Jugendlichen zur Verfügung, die lokale Gruppen leiten wollen.
Droujkova sagt, eine der größten Herausforderungen sei die Mentalität der Erwachsenen gewesen. Eltern sind versucht, ihre „schlechten alten Tage“ des Mathematikunterrichts mit ihren Kindern nachzuspielen, sagt sie. Mit diesen Rechen- und Algebra-Spielen jedoch „sagen die Eltern, dass sie einen Neuanfang machen können. … Sie können die Freude am mathematischen Spiel neu erleben, wie Babys in einer neuen Welt.“