Asistió a la Facultad de Agricultura de la Universidad de Zagreb, donde estudió viticultura y enología. Sin embargo, conoció California y quiso abandonar la entonces Yugoslavia para convertirse en enólogo allí. En 1954, abandonó la Yugoslavia comunista para ir a Alemania Occidental, donde obtuvo una beca para estudiar. Desde allí emigró a Canadá y al recibir finalmente una oferta de trabajo de una bodega de California, Grgich pudo ir allí.
Después de trabajar en varias bodegas del Valle de Napa -entre ellas Souverain Winery, Christian Brothers Cellars, Beaulieu Vineyard (trabajando junto a André Tchelistcheff) y Robert Mondavi- Grgich se convirtió en el enólogo y socio comanditario de Chateau Montelena. Su Chardonnay de la cosecha de 1973 fue seleccionado para competir en la histórica Cata de Vinos de París de 1976, donde fue clasificado como el vino blanco número uno. Una versión dramatizada de la historia se cuenta en la película de 2008 Bottle Shock, que no muestra a Grgich porque «no quería formar parte de ella»
Este éxito permitió a Grgich (con su socio Austin Hills, de Hills Brothers Coffee) establecer su propia bodega, Grgich Hills Cellar, en Rutherford, California. La bodega, que cambió de nombre a Grgich Hills Estate en 2006, posee 148 hectáreas de viñedos y produce 70.000 cajas de vino al año. Su primera añada ganó el Great Chardonnay Showdown, con 221 competidores de países de todo el mundo.