El sueño americano comienza en un anodino apartamento de la América posterior a la Segunda Guerra Mundial. Los protagonistas, mamá y papá, están sentados en sus sillones. La pareja está esperando a unos visitantes esperados, pero sus invitados llegan tarde, y mamá comenta que la gente puede salirse con la suya en estos días. Comienza a contar una historia sobre la compra de un sombrero el día anterior, pero papá no parece prestar atención a su gárrula esposa. Mamá se siente molesta y, burlándose repetidamente de su marido, se asegura de que éste le preste atención. Mami retoma entonces su historia de la compra del sombrero y le cuenta a papá lo contenta que estaba con su sombrero beige hasta que conoció a la presidenta de su club de mujeres, que insistió en que el sombrero era de trigo. Mamá se sintió engañada y volvió a la sombrerería para que le cambiaran el sombrero. Insistieron en que el sombrero era blanco, pero Mami hizo una escena en la tienda, y finalmente consiguió un nuevo sombrero y así obtuvo «satisfacción».
Mientras tanto, la madre de Mami, la abuela, entra por el arco, «cargada de cajas, grandes y pequeñas, pulcramente envueltas y atadas». No parece ser muy educada con su hija, como se desprende de su respuesta directa a la pregunta de mamá sobre el contenido de la caja: «Eso no es asunto de nadie». Tirando las cajas a los pies de papá, la abuela empieza a quejarse de que los ancianos no se sienten cómodos hablando con nadie, ya que algunas personas pueden ser irrespetuosas con los mayores. Dice: «Por eso los viejos se mueren, al final. La gente les habla así»
Mientras la abuela sale a buscar el resto de sus cajas, mamá recuerda cómo la abuela siempre ha sido experta en envolver cajas de forma bonita. Cuando era joven y pobre, la abuela envolvía su fiambrera para el colegio tan bien que mamá no tenía valor para abrirla. Su recuerdo invoca los viejos tiempos en los que la madre y su hija tenían una buena relación, y la abuela llenaba las fiambreras de mamá con su propia cena sin comer de la noche anterior, y mamá traía su almuerzo del colegio para que la abuela se lo comiera. Mamá se ha hecho rica después de casarse con papá, y cree que tiene derecho a usar el dinero de papá a su antojo a cambio de dejar que su marido se acueste con ella. La abuela llama golfa a mamá, y recuerda cómo ha sido una oportunista desde la infancia, siempre queriendo casarse con un hombre rico.
El timbre de la puerta suena, y la pareja piensa que los visitantes esperados -la «gente de la furgoneta»- han llegado por fin. El timbre suena por segunda vez, mientras papá se toma su tiempo para reconsiderar su decisión, pero mamá se mantiene firme en que deben decidirse a abrir o no la puerta. En el momento en que papá abre la puerta, entra la señora Barker y, en medio de la absurda cháchara, la abuela dice que es consciente del propósito de la visita de la señora Barker.
Mientras mamá sale del escenario para ir a buscar agua para su invitada, la señora Barker le pide a la abuela que le explique su visita. La anciana da a la invitada una sutil pista: hace veinte años, una pareja como mamá y papá vivía en un apartamento bastante parecido al suyo con una anciana muy parecida a la abuela. La única diferencia era que «eran algo más jóvenes». Se pusieron en contacto con una agente de adopción, parecida a la señora Barker, en una agencia de adopción muy parecida al Servicio de Adopción Bye-Bye de la señora Barker, y se alegraron mucho de recibir a su «bumble de la alegría»
Las cosas no salieron como estaba previsto para la pareja parecida a mamá y papá. El bebé, o «bumble», no se parecía a ninguno de sus padres. Eso era manejable, pero una noche lloró a mares y su mamá dijo que sólo tenía ojos para su papá. La señora Barker responde que, en ese caso, cualquier mujer que se precie le habría arrancado los ojos de la cabeza. La abuela les cuenta que la mamá sí lo hizo, pero luego el bebé «mantuvo su nariz en el aire» y, lo que es peor, «comenzó a desarrollar un interés por su ya sabes qué». La Sra. Barker responde que en ese caso los padres deberían haberle cortado las manos al bebé; la abuela le dice que primero le cortaron el ya sabes qué. Sin embargo, el niño, muy obstinado, siguió metiendo la mano bajo las sábanas en busca de su ya sabes qué, por lo que los padres tuvieron que cortarle también las manos por las muñecas. También hubo que cortarle la lengua porque un día había insultado a su madre. Al final, el resentido abejorro murió; sus padres, en busca de satisfacción, llamaron al agente de adopciones a su apartamento para exigir que les devolvieran el dinero. Incluso después de esta historia, la señora Barker no se da cuenta de su relevancia, y sale a buscar un vaso de agua.
El timbre vuelve a sonar, y esta vez se presenta un Joven. La abuela anuncia, con voz afectuosa y aprobatoria, que él es el Sueño Americano. A la abuela le resulta familiar. El Joven explica que está buscando trabajo, que haría casi cualquier cosa por dinero, y que el apartamento le parecía un «edificio probable». La abuela le pregunta por qué está dispuesto a hacer cualquier trabajo por dinero, y él le responde que debe compensar su carácter incompleto. La abuela le pregunta qué significa eso, y el joven le cuenta que su madre murió al dar a luz y que nunca conoció a su padre. Al nacer, supo que no estaba solo en la placenta, y que tenía un gemelo idéntico, del que fue separado siendo aún muy joven. El Joven recuerda el estrecho vínculo que compartía con su hermano gemelo: sus corazones latían con la misma cadencia, y sus estómagos dolían al mismo tiempo cuando lloraban para alimentarse. Tras la separación, ha sufrido innumerables pérdidas inexplicables. Siente que su corazón ha sido arrancado de su cuerpo, y se ha vuelto incapaz de amar; una «agonía específica» le ha hecho incapaz de hacer el amor físicamente, y ha sido incapaz de sentir y tocar, como si le hubieran quitado sus propias manos.
La abuela murmura apenada, y dice que se equivocó antes y que nunca conoció al Joven, pero que probablemente conoció a alguien muy parecido a él «que podría haber resultado ser muy parecido.» La abuela cree que el Joven es el sustituto perfecto del defectuoso zumbón de su cuento. Dice que está a punto de conseguir el trabajo que busca.
La Sra. Barker entra, y la Abuela presenta al Joven como el «Hombre Furgoneta» que ha venido a llevarse a la Abuela junto con sus cajas. Mientras lleva sus cajas fuera, la abuela le susurra a la señora Barker cómo ha planeado resolver el dilema de mamá y papá. La abuela se marcha entonces, dirigiéndose al ascensor, y asegurando al joven que todo le será explicado. La señora Barker anuncia a mamá y papá que su problema está resuelto, y que el hombre de la furgoneta ha venido y se ha llevado a la abuela con todas sus pertenencias. Casi llorando, mamá dice que es imposible, porque el Hombre Furgoneta no es una realidad sino su invención. Mientras papá consuela a mamá, la abuela sale cerca de las candilejas del escenario, visible sólo para el público, con ganas de ver los sucesos que se avecinan.
La señora Barker anuncia que el Hombre Furgoneta es el sustituto de la zambomba defectuosa, lo que alegra a mamá, que convoca una celebración. Todos están aparentemente contentos, ya que han conseguido lo que buscaban; la abuela se dirige al público, diciendo que ahora debe irse, dejando a los demás como están, y se despide del público.