La séquence hiérarchique familière de l’enseignement des mathématiques commence par le comptage, suivi de l’addition et de la soustraction, puis de la multiplication et de la division. L’ensemble de calcul s’élargit pour inclure des nombres de plus en plus grands, et à un moment donné, les fractions entrent aussi en scène. Puis, au début de l’adolescence, les élèves sont initiés aux modèles de chiffres et de lettres, dans le cadre d’une matière entièrement nouvelle, l’algèbre. Une minorité d’élèves se fraie ensuite un chemin jusqu’à la géométrie, la trigonométrie et, enfin, le calcul, qui est considéré comme le summum des mathématiques au niveau du lycée.
Mais cette progression n’a en fait « rien à voir avec la façon dont les gens pensent, la façon dont les enfants grandissent et apprennent, ou la façon dont les mathématiques sont construites », affirme Maria Droujkova, pionnière de l’enseignement des mathématiques et conceptrice de programmes. Elle se fait l’écho d’un certain nombre de voix du monde entier qui veulent révolutionner la façon dont les mathématiques sont enseignées, en la rendant plus conforme à ces principes.
La séquence actuelle n’est qu’un accident historique bien ancré qui enlève une grande partie du plaisir de ce qu’elle décrit comme « l’univers ludique » des mathématiques, avec ses plus de 60 disciplines de haut niveau, et ses manifestations dans tout, du tissage à la construction, en passant par la nature, la musique et l’art. Pire, le programme standard commence par l’arithmétique, qui, selon Mme Droujkova, est beaucoup plus difficile pour les jeunes enfants que les activités ludiques basées sur des domaines supposés plus avancés des mathématiques.
« Les calculs que les enfants sont forcés de faire sont souvent si inappropriés au développement que l’expérience équivaut à de la torture, dit-elle. Ils passent également à côté de l’essentiel, à savoir que les mathématiques sont fondamentalement des modèles et des structures, plutôt que de « petites manipulations de chiffres », comme elle le dit. C’est un peu comme si les cinéastes en herbe apprenaient d’abord les costumes, l’éclairage et d’autres aspects techniques, plutôt que l’élaboration d’histoires significatives.
Plus d’histoires
Ceci détourne de nombreux enfants des mathématiques dès leur plus jeune âge. Cela empêche également beaucoup d’autres d’apprendre les mathématiques aussi efficacement ou profondément qu’ils pourraient le faire autrement. Mme Droujkova et ses collègues ont remarqué que la plupart des adultes qu’ils rencontrent ont des « histoires de deuil des mathématiques », comme elle les décrit. Ils se souviennent de la façon dont un seul cours – ou même un seul sujet, comme les fractions – les a éloignés de la voie séquentielle. Elle-même a vu plus d’un adulte « éclater en sanglots pendant les entretiens, revivant les angoisses et les espoirs perdus de leur jeune moi. »
Droujkova, qui a obtenu son doctorat en enseignement des mathématiques aux États-Unis après y avoir immigré d’Ukraine, préconise une approche plus holistique qu’elle appelle les « mathématiques naturelles », qu’elle enseigne aux enfants dès les tout-petits, et à leurs parents. Cette approche, couverte par le livre qu’elle a coécrit avec Yelena McManaman, « Moebius Noodles : Adventurous maths for the playground crowd », consiste à exploiter les instincts puissants et étonnamment productifs d’exploration ludique des élèves pour les guider dans un voyage personnel à travers le sujet. Selon Mme Droujkova : « Des études ont montré que les jeux ou le jeu libre sont des moyens efficaces d’apprentissage pour les enfants, et qu’ils les apprécient. Ils ouvrent également la voie à un travail plus structuré et encore plus créatif consistant à remarquer, remixer et construire des modèles mathématiques. »
Trouver un chemin approprié s’articule autour de l’appréciation d’un fait souvent négligé – que « la complexité de l’idée et la difficulté à la réaliser sont des dimensions distinctes et indépendantes », dit-elle. « Malheureusement, une grande partie de ce que l’on propose aux petits enfants est constituée d’idées simples mais difficiles à mettre en œuvre pour les humains », car elles sollicitent les limites de la mémoire de travail, de l’attention, de la précision et d’autres fonctions cognitives. Exemples d’activités qui entrent dans le quadrant « simple mais difficile » : Construire une tranchée avec une cuillère (une punition militaire qui implique de nombreuses petites tâches répétitives, un peu comme faire 100 problèmes d’addition à deux chiffres sur une feuille de travail typique, comme le souligne Droujkova), ou mémoriser les tables de multiplication comme des faits individuels plutôt que des modèles.
Bien mieux, dit-elle, de commencer par créer des expériences mathématiques riches et sociales qui sont complexes (permettant de les prendre dans de nombreuses directions différentes) mais faciles (les rendant propices à un jeu immédiat). Les activités qui entrent dans ce quadrant : construire une maison avec des blocs LEGO, faire de l’origami ou des découpages de flocons de neige, ou utiliser une prétendue » boîte à fonctions » qui transforme des objets (et qui peut aussi être utilisée en combinaison avec une deuxième machine pour composer des fonctions, ou à l’envers pour inverser une fonction, et ainsi de suite).
» On peut prendre n’importe quelle branche des mathématiques et y trouver des choses à la fois complexes et faciles « , explique Mme Droujkova. « Ma quête, avec plusieurs collègues du monde entier, est de prendre le trésor des mathématiques et de trouver les voies accessibles dans tout cela. »
Elle a commencé par l’algèbre et le calcul, parce que ce sont « des outils de dessinateur de modèles, des outils de concepteur, des outils de fabricant – ils soutiennent le jeu libre cool. » Ainsi, « Moebius Noodles » comprend des activités telles que la fabrication de fractales (pour favoriser l’appréciation des idées de récursion et d’infinitésimaux) et des « livres-miroirs » (miroirs scotchés les uns aux autres comme les couvertures d’un livre et pouvant être inclinés de différentes manières autour d’un objet pour introduire les concepts d’infini et de transformations). (Un autre livre de ce genre est « Calculus by and for Young People », de Don Cohen.)
« Ce n’est pas le sujet du calcul tel qu’il est formellement enseigné au collège », note Droujkova. « Mais avant d’en arriver là, nous voulons avoir un jeu pratique, ancré, métaphorique. Au niveau du jeu libre, vous apprenez d’une manière très fondamentale – vous vous appropriez vraiment votre concept, mentalement, physiquement, émotionnellement, culturellement. » Cette approche « vous donne des racines profondes, de sorte que la voûte de la haute abstraction ne se fane pas. Ce que l’on apprend sans jeu est qualitativement différent. Cela aide à passer des tests et à faire des exercices banals, mais cela ne fait rien pour la pensée logique et la résolution de problèmes. Ces choses sont séparées, et vous ne pouvez pas arriver ici à partir de là. »
Elle ne s’attend pas à ce que les enfants soient capables de résoudre des équations formelles à l’âge de cinq ans, mais ce n’est pas grave. « Il y a des niveaux de compréhension », dit-elle. « Vous ne voulez pas enchaîner les gens dans une compréhension formelle trop tôt ». Après le niveau informel, vient le niveau où les élèves discutent d’idées et remarquent des modèles. Puis vient le niveau formel, où les élèves peuvent utiliser des mots abstraits, des graphiques et des formules. Mais idéalement, un aspect ludique est conservé tout au long du parcours. « C’est ce que font les mathématiciens – ils jouent avec des idées abstraites, mais ils jouent quand même. »
Droujkova note que les mathématiques naturelles – dont le slogan est « make math your own, to make your own math »- sont essentiellement un « mouvement de liberté. » Elle explique : « Nous œuvrons pour la liberté à de nombreux niveaux – le libre jeu des petits enfants, l’agence des familles et des groupes locaux dans l’organisation d’activités mathématiques, l’autonomie des artistes et des fabricants, et même la liberté pour nous, concepteurs de programmes. … Il n’y a pas un seul élément de mathématiques qui convienne à tout le monde. Les gens sont différents, et les gens ont besoin d’aborder les mathématiques différemment. »
Par exemple, dans un groupe apprenant les propriétés des losanges, une personne à tendance artistique pourrait préférer dessiner un losange, un programmeur pourrait en coder un, un philosophe pourrait discuter de l’essence des losanges, et un maître de l’origami pourrait plier un losange en papier.
Tout le monde n’a pas non plus besoin d’apprendre un élément particulier des mathématiques, en dehors de ce qui est essentiel pour fonctionner dans sa culture. De nombreuses personnes vivent jusqu’à un âge mûr et heureux sans connaître le calcul, par exemple. « En même temps, le monde se porterait mieux avec une littératie plus élevée pour les mathématiques, et l’humanité dans son ensemble a besoin de mathématiques avancées pour traverser les 100 prochaines années, car il y a des problèmes assez complexes auxquels nous sommes confrontés. »
Les enfants doivent être exposés à une variété de styles de mathématiques pour trouver celui qui leur convient le mieux. Mais ils ont également besoin de voir des personnes significatives (pour eux) qui font des choses significatives avec les mathématiques et qui apprécient l’expérience. Les cercles de mathématiques, où les gens s’entraident, se développent rapidement et constituent un moyen d’y parvenir. Le savoir-faire mathématique (activités et exemples) « doit s’accompagner de communautés de pratique qui aident les débutants à lui donner un sens », explique Mme Droujkova. « L’un ne fonctionne pas sans l’autre. »
Malgré tout, si l’on veut que l’apprentissage soit aussi efficace et profond que possible, il est essentiel qu’il se fasse librement. Cela signifie qu’il faut donner aux enfants la possibilité de s’exprimer sur les activités auxquelles ils participent, sur la durée de leur participation, mais aussi sur le niveau de maîtrise qu’ils souhaitent atteindre. (« C’est le plus grand clash avec le développement traditionnel des programmes scolaires », note Droujkova.)
Les adultes doivent être préparés à ces moments où un enfant préférerait faire autre chose que l’activité prévue. Selon Droujkova : « Le rôle des adultes est d’inspirer, en disant des choses comme : « Ooh, quelle forme complexe – as-tu remarqué que la courbe est faite de lignes droites ? ». Établissez des liens mathématiques avec ce que font les enfants. C’est difficile à faire, car cela nécessite une connaissance des concepts pédagogiques et mathématiques, mais cela s’apprend. Et tout le monde peut facilement apporter un soutien général : « C’est très intéressant, je vais me renseigner davantage ». Vous pouvez ensuite regarder en ligne, ou demander sur un forum de cercle mathématique, pour trouver ce que cela signifie mathématiquement. »
Il est également utile d’avoir une variété de matériel intéressant à portée de main et d’être d’accord avec l’idée que les enfants fassent des pauses si nécessaire. Droujkova a remarqué que dans la plupart des groupes, il y a un ou deux enfants qui font autre chose, tandis que les autres font l’activité principale. (Les non-participants absorbent tout de même une quantité surprenante, ajoute-t-elle.)
Les protestations proviennent principalement de deux camps très différents (et généralement opposés). L’un est la cohorte « let kids be kids », qui s’inquiète du fait que la légitimation de l’idée d’impliquer les tout-petits avec l’algèbre et le calcul va tenter les types Tiger Mom de pousser leurs enfants dans des abstractions formelles dans ces matières à des âges de plus en plus jeunes, même si cela manquerait complètement le but. D’autres critiques se rangent dans le camp du « retour aux sources », qui prétend que tout ce jeu empêchera les enfants de devenir fluides dans les compétences traditionnelles de calcul.
Droujkova considère que ces critiques sont révélatrices de quelque chose de beaucoup plus grand : « Elles reflètent des gouffres assez profonds entre différentes philosophies de l’éducation, ou plus largement, des différences dans les futurs que nous traçons pour les enfants. Lorsque nous assignons un grand nombre d’exercices similaires, nous imaginons les enfants dans des situations qui exigent une précision industrielle. » Donner aux enfants des puzzles logiques ou des projets ouverts, en revanche, indique des aspirations à ce qu’ils grandissent pour devenir des explorateurs ou des designers. « Cela ne fonctionne pas aussi directement », concède-t-elle, « mais ces croyances dictent l’éducation mathématique que les adultes choisissent ou fabriquent pour les enfants. »
Certains s’inquiètent également de savoir si cette approche est pratique pour les populations privées de droits. Droujkova affirme qu’elle peut être menée par n’importe quel adulte « quelque peu alphabétisé » ; l’essentiel est de mettre en place le bon réseau de soutien. Elle et ses collègues s’efforcent de renforcer les réseaux locaux et d’améliorer l’accessibilité sur tous les fronts : mathématique, culturel et financier. Ils ont rendu leur matériel et leurs cours ouverts sous Creative Commons, et ont conçu des activités qui ne nécessitent que du matériel facilement disponible.
« Le savoir-faire en matière de mise à disposition de populations privées de leurs droits d’un apprentissage ouvert et centré sur la communauté se développe », note Mme Droujkova, citant les expériences de Sugata Mitra et Dave Eggers. Des hubs en ligne peuvent connecter des membres de la communauté partageant les mêmes idées, et des cours et un soutien en ligne sont disponibles pour les parents, les enseignants et les adolescents qui veulent diriger des groupes locaux.
Droujkova dit que l’un des plus grands défis a été la mentalité des adultes. Les parents sont tentés de rejouer leurs « mauvais vieux jours » d’enseignement des mathématiques avec leurs enfants, dit-elle. Avec ces jeux de calcul et d’algèbre, cependant, « les parents disent qu’ils prennent un nouveau départ. (…) Ils peuvent expérimenter à nouveau la joie du jeu mathématique, comme des bébés dans un nouveau monde. «