La familiare sequenza gerarchica dell’istruzione matematica inizia con il conteggio, seguito da addizione e sottrazione, poi da moltiplicazione e divisione. L’insieme dei calcoli si espande per includere numeri sempre più grandi, e ad un certo punto entrano in scena anche le frazioni. Poi, nella prima adolescenza, gli studenti vengono introdotti ai modelli di numeri e lettere, nella materia completamente nuova dell’algebra. Una minoranza di studenti si fa poi strada attraverso la geometria, la trigonometria e, infine, il calcolo, che è considerato l’apice della matematica a livello di scuola superiore.
Ma questa progressione in realtà “non ha nulla a che fare con il modo in cui le persone pensano, come i bambini crescono e imparano, o come la matematica è costruita”, dice la pioniera educatrice matematica e designer di curriculum Maria Droujkova. Lei fa eco a un certo numero di voci da tutto il mondo che vogliono rivoluzionare il modo in cui la matematica viene insegnata, portandola più in linea con questi principi.
L’attuale sequenza è semplicemente un incidente storico radicato che toglie molto del divertimento da quello che lei descrive come “l’universo giocoso” della matematica, con le sue più di 60 discipline di alto livello, e le sue manifestazioni in tutto, dalla tessitura alla costruzione, la natura, la musica e l’arte. Peggio ancora, il curriculum standard inizia con l’aritmetica, che Droujkova dice essere molto più difficile per i bambini piccoli rispetto alle attività ludiche basate su presunti campi più avanzati della matematica.
“I calcoli che i bambini sono costretti a fare sono spesso così inappropriati per lo sviluppo che l’esperienza equivale a una tortura”, dice. Mancano anche il punto essenziale – che la matematica riguarda fondamentalmente modelli e strutture, piuttosto che “piccole manipolazioni di numeri”, come dice lei. È come se i registi in erba imparassero prima i costumi, l’illuminazione e altri aspetti tecnici, piuttosto che la creazione di storie significative.
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Questo allontana molti bambini dalla matematica fin dalla tenera età. Impedisce anche a molti altri di imparare la matematica in modo efficiente o profondo come potrebbero altrimenti. Droujkova e i suoi colleghi hanno notato che la maggior parte degli adulti che incontrano hanno “storie di dolore per la matematica”, come lei le descrive. Ricordano come un singolo corso – o anche un singolo argomento, come le frazioni – li abbia allontanati dal percorso sequenziale. Lei stessa ha visto più di qualche adulto “scoppiare a piangere durante le interviste, rivivendo le ansie e le speranze perdute dei loro giovani sé.”
Droujkova, che ha conseguito il suo dottorato in educazione matematica negli Stati Uniti dopo essere immigrata qui dall’Ucraina, sostiene un approccio più olistico che chiama “matematica naturale”, che insegna ai bambini fin da piccoli e ai loro genitori. Questo approccio, trattato nel libro di cui è coautrice con Yelena McManaman, “Moebius Noodles: Adventurous math for the playground crowd”, si basa sullo sfruttamento del potente e sorprendentemente produttivo istinto di esplorazione giocosa degli studenti per guidarli in un viaggio personale attraverso la materia. Dice Droujkova: “Gli studi hanno dimostrato che i giochi o il gioco libero sono modi efficaci per i bambini di imparare, e si divertono. Inoltre aprono la strada al lavoro più strutturato e ancora più creativo di notare, rimescolare e costruire modelli matematici.”
Per trovare un percorso appropriato è necessario apprezzare un fatto spesso trascurato – che “la complessità dell’idea e la difficoltà di farla sono dimensioni separate e indipendenti”, dice. “Purtroppo molte delle cose che vengono proposte ai bambini sono idee semplici ma difficili da realizzare per gli esseri umani”, perché tassano prontamente i limiti della memoria di lavoro, dell’attenzione, della precisione e di altre funzioni cognitive. Esempi di attività che rientrano nel quadrante “semplice ma difficile”: Costruire una trincea con un cucchiaio (una punizione militare che comporta molti piccoli compiti ripetitivi, simile a fare 100 problemi di addizione a due cifre su un tipico foglio di lavoro, come sottolinea Droujkova), o memorizzare le tabelle di moltiplicazione come fatti individuali piuttosto che come modelli.
Meglio, dice, iniziare a creare esperienze matematiche ricche e sociali che siano complesse (permettendo loro di essere prese in molte direzioni diverse) ma facili (rendendole favorevoli al gioco immediato). Attività che rientrano in questo quadrante: costruire una casa con i blocchi LEGO, fare origami o ritagliare un fiocco di neve, o usare una finta “scatola delle funzioni” che trasforma gli oggetti (e può anche essere usata in combinazione con una seconda macchina per comporre funzioni, o all’indietro per invertire una funzione, e così via).
“Si può prendere qualsiasi ramo della matematica e trovare cose che sono sia complesse che facili in esso”, dice Droujkova. “La mia ricerca, con diversi colleghi in tutto il mondo, è quella di prendere il tesoro della matematica e trovare le vie accessibili in tutto questo.”
Ha iniziato con l’algebra e il calcolo, perché sono “strumenti per disegnare modelli, strumenti per progettare, strumenti per creare, supportano il gioco libero”. Così “Moebius Noodles” include attività come la creazione di frattali (per favorire l’apprezzamento delle idee di ricorsione e degli infinitesimi) e “mirror books” (specchi che sono attaccati l’uno all’altro come le copertine di un libro e possono essere angolati in modi diversi intorno ad un oggetto per introdurre i concetti di infinito e trasformazioni). (Un altro libro di questo genere è “Calculus by and for Young People”, di Don Cohen.)
“Non è la materia del calcolo come viene formalmente insegnata al college”, nota Droujkova. “Ma prima di arrivarci, vogliamo avere un gioco pratico, fondato, metaforico. A livello di gioco libero, stai imparando in un modo molto fondamentale – possiedi davvero il tuo concetto, mentalmente, fisicamente, emotivamente, culturalmente”. Questo approccio “ti dà radici profonde, così il baldacchino dell’alta astrazione non appassisce. Ciò che si impara senza giocare è qualitativamente diverso. Aiuta a fare i test e gli esercizi mondani, ma non fa nulla per il pensiero logico e il problem solving. Queste cose sono separate, e non si può arrivare qui da lì.”
Non si aspetta che i bambini siano in grado di risolvere equazioni formali a cinque anni, ma va bene così. “Ci sono livelli di comprensione”, dice. “Non si vuole incatenare le persone ad una comprensione formale troppo presto”. Dopo il livello informale viene il livello in cui gli studenti discutono le idee e notano i modelli. Poi viene il livello formale, dove gli studenti possono usare parole astratte, grafici e formule. Ma idealmente, un aspetto ludico viene mantenuto lungo tutto il percorso. “Questo è quello che fanno i matematici – giocano con idee astratte, ma giocano ancora.”
Droujkova nota che la matematica naturale – il cui slogan è “make math your own, to make your own math”- è essenzialmente un “movimento di libertà”. Lei spiega: “Lavoriamo per la libertà a molti livelli – il libero gioco dei bambini, l’autonomia delle famiglie e dei gruppi locali nell’organizzazione di attività matematiche, l’autonomia degli artisti e dei creatori, e anche la libertà per noi progettisti di curriculum. … Nessun singolo pezzo di matematica è giusto per tutti. Le persone sono diverse e hanno bisogno di avvicinarsi alla matematica in modo diverso”
Per esempio, in un gruppo che impara le proprietà dei rombi, una persona con inclinazione artistica potrebbe preferire disegnare un rombo, un programmatore potrebbe codificarne uno, un filosofo potrebbe discutere l’essenza dei rombi e un maestro di origami potrebbe piegare un rombo di carta.
Né tutti hanno bisogno di imparare un particolare pezzo di matematica, a parte quello che è essenziale per funzionare nella propria cultura. Molte persone vivono fino a un’età matura e felice senza conoscere il calcolo, per esempio. “Allo stesso tempo, il mondo starebbe meglio con una maggiore alfabetizzazione matematica, e l’umanità nel suo complesso ha bisogno di matematica avanzata per superare i prossimi 100 anni, perché ci sono problemi piuttosto complessi che stiamo affrontando.”
I bambini devono essere esposti a una varietà di stili matematici per trovare quello più adatto a loro. Ma hanno anche bisogno di vedere persone significative (per loro) che fanno cose significative con la matematica e si godono l’esperienza. I circoli di matematica, dove le persone si aiutano a vicenda, stanno crescendo rapidamente e sono un modo per raggiungere questo obiettivo. Il know-how matematico (attività ed esempi) “deve essere accompagnato da comunità di pratica che aiutino i nuovi arrivati a dargli un senso”, dice Droujkova. “
In ogni caso, se l’apprendimento deve essere il più efficiente e profondo possibile, è essenziale che avvenga liberamente. Questo significa dare ai bambini una voce su quali attività partecipare, per quanto tempo, e anche sul livello di padronanza che vogliono raggiungere. (“Questo è il più grande scontro con lo sviluppo del curriculum tradizionale”, nota Droujkova).
Gli adulti devono essere preparati per quei momenti in cui un bambino preferirebbe fare qualcosa di diverso dall’attività pianificata. Dice Droujkova: “Il ruolo degli adulti è quello di ispirare, dicendo cose come: ‘Ooh, che forma complessa – hai notato che la curva è fatta di linee rette? Fornire connessioni matematiche con qualsiasi cosa i bambini stiano facendo. Questo è difficile da fare – richiede sia conoscenze pedagogiche che di concetti matematici, ma si può imparare. E tutti possono facilmente dare un supporto generale: ‘Molto interessante, indagherò di più’. Si può poi guardare online, o chiedere su un forum di circoli matematici, per scoprire cosa significa matematicamente.”
È anche utile avere una varietà di materiali interessanti a portata di mano ed essere d’accordo con l’idea che i bambini facciano delle pause se necessario. Droujkova ha notato che nella maggior parte dei gruppi, ci sono uno o due bambini che fanno qualcos’altro, mentre gli altri fanno l’attività principale. (I non partecipanti continuano ad assorbire una quantità sorprendente, aggiunge.)
Le critiche sono venute principalmente da due campi molto diversi (e solitamente opposti). Uno è la coorte “lasciamo che i bambini siano bambini”, che si preoccupa che legittimare l’idea di coinvolgere i bambini con l’algebra e il calcolo tenterà le mamme tigre a spingere i loro figli in astrazioni formali in queste materie a età sempre più giovani, anche se questo mancherebbe completamente il punto. Altri critici rientrano nel campo del “back to basics”, che sostiene che tutto questo gioco impedirà ai bambini di diventare fluidi nelle tradizionali abilità di calcolo.
Droujkova vede queste critiche come indicative di qualcosa di molto più grande: “Riflettono un abisso piuttosto profondo tra diverse filosofie dell’educazione, o più in generale, differenze nel futuro che prepariamo per i bambini. Quando assegniamo un sacco di esercizi simili, immaginiamo i bambini in situazioni che richiedono precisione industriale”. Dare ai bambini puzzle di logica o progetti aperti, d’altra parte, indica aspirazioni di loro che crescono per diventare esploratori o designer. “Non funziona così direttamente”, concede, “ma queste convinzioni dettano quale educazione matematica gli adulti scelgono o fanno per i bambini.”
Ci sono anche alcuni che si preoccupano se questo approccio sia pratico per le popolazioni disagiate. Droujkova dice che può essere guidato da qualsiasi adulto “un po’ alfabetizzato”; la chiave è avere la giusta rete di supporto. Lei e i suoi colleghi stanno cercando di potenziare le reti locali e di migliorare l’accessibilità su tutti i fronti: matematico, culturale e finanziario. Hanno reso i loro materiali e corsi aperti sotto Creative Commons, e progettato attività che richiedono solo materiali facilmente reperibili.
“Il know-how su come rendere l’apprendimento aperto e centrato sulla comunità disponibile alle popolazioni prive di diritti sta crescendo”, nota Droujkova, citando esperimenti di Sugata Mitra e Dave Eggers. Gli hub online possono connettere i membri della comunità che la pensano come loro, e corsi online e supporto sono disponibili per genitori, insegnanti e adolescenti che vogliono guidare gruppi locali.
Droujkova dice che una delle maggiori sfide è stata la mentalità degli adulti. I genitori sono tentati di riprodurre i loro “brutti vecchi tempi” di istruzione matematica con i loro figli, dice. Con questi giochi di calcolo e algebra, però, “i genitori dicono di avere un nuovo inizio. … Possono sperimentare la gioia del gioco matematico di nuovo, come bambini in un nuovo mondo.”