Frequentou a Faculdade de Agricultura da Universidade de Zagreb, onde estudou viticultura e enologia. No entanto, aprendeu sobre a Califórnia e quis deixar a então Jugoslávia para se tornar vinicultor de lá. Em 1954, ele deixou a Iugoslávia comunista para a Alemanha Ocidental, obtendo uma bolsa de estudos para estudar lá. De lá emigrou para o Canadá e ao receber finalmente uma oferta de emprego de uma vinícola da Califórnia, Grgich pôde ir para lá.
Depois de trabalhar em várias vinícolas do Vale de Napa – incluindo a Vinícola Souverain, a Adega Christian Brothers, a Vinícola Beaulieu (trabalhando ao lado de André Tchelistcheff), e Robert Mondavi – Grgich tornou-se o enólogo e sócio limitado do Chateau Montelena. O seu Chardonnay de 1973 foi seleccionado para competir na histórica Prova de Vinhos de Paris de 1976, onde foi classificado como o vinho branco número um. Uma versão dramatizada da história é contada no filme Bottle Shock de 2008 que não retratava Grgich porque “ele não queria fazer parte dele”
Este sucesso permitiu a Grgich (com o parceiro de negócios Austin Hills of Hills Brothers Coffee) estabelecer sua própria vinícola, Grgich Hills Cellar em Rutherford, Califórnia. A vinícola, que mudou os nomes para Grgich Hills Estate em 2006, possui 366 acres (148 ha) de vinhedos e produz 70.000 caixas de vinho a cada ano. Sua primeira safra ganhou o Great Chardonnay Showdown, com 221 concorrentes de países de todo o mundo.