Hij ging naar de Landbouwfaculteit van de Universiteit van Zagreb, waar hij wijnbouw en enologie studeerde. Hij leerde echter Californië kennen en wilde het toenmalige Joegoslavië verlaten om daar wijnmaker te worden. In 1954 vertrok hij van het communistische Joegoslavië naar West-Duitsland, waar hij een beurs kreeg om te studeren. Van daaruit emigreerde hij naar Canada en toen hij uiteindelijk een baan kreeg aangeboden van een wijnmakerij in Californië, kon Grgich daarheen.
Na gewerkt te hebben bij een aantal wijnmakerijen in de Napa Valley – waaronder Souverain Winery, Christian Brothers Cellars, Beaulieu Vineyard (werkend naast André Tchelistcheff), en Robert Mondavi – werd Grgich de wijnmaker en commanditaire vennoot op Chateau Montelena. Zijn Chardonnay van 1973 werd geselecteerd om mee te doen aan de historische Parijse Wijnproeverij van 1976, waar het de nummer één witte wijn werd. Een gedramatiseerde versie van het verhaal wordt verteld in de film Bottle Shock uit 2008, waarin Grgich niet voorkomt omdat “hij er geen deel van uit wilde maken.”
Dit succes stelde Grgich (met zakenpartner Austin Hills van Hills Brothers Coffee) in staat zijn eigen wijnmakerij op te richten, Grgich Hills Cellar in Rutherford, Californië. Het wijnhuis, dat in 2006 zijn naam veranderde in Grgich Hills Estate, bezit 148 hectare wijngaarden en produceert jaarlijks 70.000 kisten wijn. De allereerste jaargang won de Great Chardonnay Showdown, met 221 concurrenten uit landen over de hele wereld.