Uczęszczał na Wydział Rolnictwa Uniwersytetu w Zagrzebiu, gdzie studiował uprawę winorośli i enologię. Dowiedział się jednak o Kalifornii i zapragnął opuścić ówczesną Jugosławię, by zostać tam winiarzem. W 1954 roku wyjechał z komunistycznej Jugosławii do Niemiec Zachodnich, otrzymując stypendium na studia w tym kraju. Stamtąd wyemigrował do Kanady, a gdy w końcu otrzymał ofertę pracy od winiarni w Kalifornii, Grgich był w stanie tam pojechać.
Po pracy w kilku winiarniach w Napa Valley – w tym Souverain Winery, Christian Brothers Cellars, Beaulieu Vineyard (pracując u boku André Tchelistcheffa) i Roberta Mondavi – Grgich został winiarzem i komandytariuszem w Chateau Montelena. Jego Chardonnay z rocznika 1973 zostało wybrane do udziału w historycznej paryskiej degustacji win w 1976 roku, gdzie zostało uznane za wino białe numer jeden. Udramatyzowana wersja tej historii została opowiedziana w filmie Bottle Shock z 2008 roku, w którym Grgich nie został przedstawiony, ponieważ „nie chciał być jej częścią”.
Ten sukces pozwolił Grgichowi (wraz z partnerem biznesowym Austinem Hillsem z Hills Brothers Coffee) na założenie własnej winnicy, Grgich Hills Cellar w Rutherford w Kalifornii. Winiarnia, która w 2006 roku zmieniła nazwę na Grgich Hills Estate, posiada 366 akrów (148 ha) winnic i produkuje 70 000 skrzynek wina rocznie. Jej pierwszy rocznik zwyciężył w konkursie Great Chardonnay Showdown, w którym wzięło udział 221 konkurentów z całego świata.