Secvența familiară și ierarhică de predare a matematicii începe cu numărarea, urmată de adunare și scădere, apoi de înmulțire și împărțire. Setul de calcul se extinde pentru a include numere din ce în ce mai mari și, la un moment dat, intră în scenă și fracțiile. Apoi, la începutul adolescenței, elevii fac cunoștință cu modelele de numere și litere, în cadrul materiei complet noi a algebrei. O minoritate de elevi își croiesc apoi drum prin geometrie, trigonometrie și, în cele din urmă, calcul, care este considerat apogeul matematicii la nivel de liceu.
Dar această progresie, de fapt, „nu are nimic de-a face cu modul în care gândesc oamenii, cu modul în care cresc și învață copiii sau cu modul în care este construită matematica”, spune Maria Droujkova, educator de matematică de pionierat și designer de programe școlare. Ea se face ecoul mai multor voci din întreaga lume care doresc să revoluționeze modul de predare a matematicii, aducând-o mai aproape de aceste principii.
Succesiunea actuală nu este decât un accident istoric înrădăcinat, care înlătură o mare parte din distracția a ceea ce ea descrie ca fiind „universul ludic” al matematicii, cu cele peste 60 de discipline de nivel superior și cu manifestările sale în toate domeniile, de la țesut la construcții, natură, muzică și artă. Mai rău, programa școlară standard începe cu aritmetica, despre care Droujkova spune că este mult mai dificilă pentru copiii mici decât activitățile ludice bazate pe domenii presupus mai avansate ale matematicii.
„Calculele pe care copiii sunt forțați să le facă sunt adesea atât de nepotrivite din punct de vedere al dezvoltării, încât experiența echivalează cu o tortură”, spune ea. De asemenea, ele ratează esențialul – faptul că matematica se referă în mod fundamental la modele și structuri, mai degrabă decât la „mici manipulări de numere”, după cum spune ea. Este asemănător cu regizorii în devenire care învață mai întâi despre costume, lumini și alte aspecte tehnice, mai degrabă decât despre crearea unor povești semnificative.
Mai multe povești
Acest lucru îi îndepărtează pe mulți copii de matematică de la o vârstă fragedă. De asemenea, îi împiedică pe mulți alții să învețe matematica atât de eficient sau de profund pe cât ar putea altfel. Droujkova și colegii ei au observat că cei mai mulți dintre adulții pe care îi întâlnesc au „povești de durere matematică”, așa cum le descrie ea. Ei își amintesc cum un singur curs – sau chiar un singur subiect, cum ar fi fracțiile – i-a îndepărtat de pe calea secvențială. Ea însăși a văzut mai mult de câțiva adulți „izbucnind în plâns în timpul interviurilor, retrăind anxietățile și speranțele pierdute ale tinereții lor.”
Droujkova, care și-a obținut doctoratul în educație matematică în Statele Unite după ce a emigrat aici din Ucraina, susține o abordare mai holistică pe care o numește „matematică naturală”, pe care o predă copiilor încă de la vârste fragede, precum și părinților acestora. Această abordare, abordată în cartea pe care a scris-o împreună cu Yelena McManaman, „Moebius Noodles: Matematică aventuroasă pentru mulțimea de la locul de joacă”, se bazează pe valorificarea instinctelor puternice și surprinzător de productive ale elevilor pentru explorarea jucăușă, pentru a-i ghida într-o călătorie personală prin această materie. Spune Droujkova: „Studiile au arătat că jocurile sau joaca liberă sunt modalități eficiente de învățare pentru copii, iar aceștia se bucură de ele. De asemenea, acestea deschid calea către munca mai structurată și chiar mai creativă de observare, remixare și construire a modelelor matematice.”
Găsirea unei căi adecvate depinde de aprecierea unui fapt adesea trecut cu vederea – că „complexitatea ideii și dificultatea de a o face sunt dimensiuni separate și independente”, spune ea. „Din nefericire, o mare parte din ceea ce li se oferă copiilor mici sunt idei simple, dar dificile-primitive, care sunt greu de pus în aplicare de către oameni”, deoarece acestea solicită cu ușurință limitele memoriei de lucru, ale atenției, ale preciziei și ale altor funcții cognitive. Exemple de activități care se încadrează în cadranul „simplu, dar greu”: Construirea unui șanț cu o lingură (o pedeapsă militară care implică multe sarcini mici și repetitive, asemănătoare cu rezolvarea a 100 de probleme de adunare cu două cifre pe o foaie de lucru tipică, după cum subliniază Droujkova), sau memorarea tabelelor de înmulțire ca fapte individuale mai degrabă decât ca modele.
Mult mai bine, spune ea, să începem prin a crea experiențe matematice bogate și sociale care sunt complexe (permițându-le să fie luate în mai multe direcții diferite), dar ușoare (făcându-le propice jocului imediat). Activități care se încadrează în acest cvadrant: construirea unei case cu blocuri LEGO, realizarea de origami sau decupări de fulgi de zăpadă, sau folosirea unei „cutii de funcții” fictive care transformă obiecte (și care poate fi, de asemenea, folosită în combinație cu o a doua mașină pentru a compune funcții, sau invers pentru a inversa o funcție, și așa mai departe).
„Puteți lua orice ramură a matematicii și găsi în ea lucruri care sunt atât complexe, cât și ușoare”, spune Droujkova. „Căutarea mea, împreună cu mai mulți colegi din întreaga lume, este de a lua comoara matematicii și de a găsi căi accesibile în toate acestea.”
Ea a început cu algebra și calculul, deoarece acestea sunt „instrumente de desenare a modelelor, instrumente de proiectare, instrumente de creație – ele susțin jocul liber cool.” Astfel, „Moebius Noodles” include activități cum ar fi realizarea de fractali (pentru a încuraja aprecierea ideilor de recursivitate și infinitezimal) și „cărți cu oglinzi” (oglinzi care sunt lipite una de cealaltă ca și coperțile unei cărți și care pot fi înclinate în diferite moduri în jurul unui obiect pentru a introduce conceptele de infinit și transformări). (O altă carte de acest gen este „Calculus by and for Young People”, de Don Cohen.)
„Nu este materia de calcul așa cum se predă în mod oficial la facultate”, notează Droujkova. „Dar, înainte de a ajunge acolo, vrem să avem un joc practic, fundamentat, metaforic. La nivelul jocului liber, înveți într-un mod foarte fundamental – îți însușești cu adevărat conceptul, din punct de vedere mental, fizic, emoțional, cultural.” Această abordare „vă oferă rădăcini adânci, astfel încât baldachinul abstracțiunii înalte să nu se ofilească. Ceea ce se învață fără joc este calitativ diferit. Ajută la susținerea testelor și la exerciții banale, dar nu face nimic pentru gândirea logică și rezolvarea problemelor. Aceste lucruri sunt separate și nu poți ajunge aici de acolo.”
Ea nu se așteaptă ca copiii să fie capabili să rezolve ecuații formale la vârsta de cinci ani, dar asta este în regulă. „Există niveluri de înțelegere”, spune ea. „Nu vreți să îi încătușați pe oameni într-o înțelegere formală prea devreme”. După nivelul informal urmează nivelul în care elevii discută idei și observă modele. Apoi vine nivelul formal, în care elevii pot folosi cuvinte abstracte, grafice și formule. Dar, în mod ideal, se păstrează un aspect ludic de-a lungul întregului parcurs. „Asta fac matematicienii – se joacă cu idei abstracte, dar tot se joacă.”
Droujkova notează că matematica naturală – al cărei slogan este „make math your own, pentru a-ți face propria matematică” – este în esență o „mișcare de libertate”. Ea explică: „Lucrăm pentru libertate la mai multe niveluri – jocul liber al copiilor mici, agenția familiilor și a grupurilor locale în organizarea activităților de matematică, autonomia artiștilor și a creatorilor și chiar libertatea pentru noi, proiectanții de programe școlare. … Nu există un singur element de matematică care să fie potrivit pentru toată lumea. Oamenii sunt diferiți, iar oamenii trebuie să abordeze matematica în mod diferit.”
De exemplu, într-un grup care învață despre proprietățile romburilor, o persoană cu înclinații artistice ar putea prefera să deseneze un romb, un programator ar putea codifica unul, un filozof ar putea discuta despre esența romburilor, iar un maestru origami ar putea împături un romb de hârtie.
Nici toată lumea nu trebuie să învețe o anumită bucată de matematică, în afară de ceea ce este esențial pentru a funcționa în cultura sa. Mulți oameni trăiesc până la o bătrânețe matură și fericită fără a cunoaște calculul, de exemplu. „În același timp, lumii i-ar fi mai bine cu o alfabetizare mai mare pentru matematică, iar omenirea în ansamblu are nevoie de matematică avansată pentru a trece de următorii 100 de ani, deoarece există probleme destul de complexe cu care ne confruntăm.”
Copiii trebuie să fie expuși la o varietate de stiluri de matematică pentru a-l găsi pe cel care li se potrivește cel mai bine. Dar ei au nevoie, de asemenea, să vadă oameni semnificativi (pentru ei) care fac lucruri semnificative cu matematica și care se bucură de această experiență. Cercurile de matematică, în care oamenii se ajută unii pe alții, sunt în creștere rapidă și reprezintă o modalitate de a realiza acest lucru. Cunoștințele de matematică (activități și exemple) „trebuie să fie însoțite de comunități de practică care îi ajută pe începători să le dea sens”, spune Droujkova. „Una nu funcționează fără cealaltă.”
Indiferent, pentru ca învățarea să fie cât mai eficientă și mai profundă, este esențial ca aceasta să se facă în mod liber. Asta înseamnă să le oferim copiilor un cuvânt de spus în ceea ce privește activitățile la care să participe, pentru cât timp și, de asemenea, nivelul de măiestrie pe care doresc să îl atingă. („Aceasta este cea mai mare ciocnire cu dezvoltarea curriculumului tradițional”, notează Droujkova.)
Adulții trebuie să fie pregătiți pentru acele momente în care un copil ar prefera să facă altceva decât activitatea planificată. Spune Droujkova: „Rolul adulților este de a inspira, spunând lucruri de genul: „Ooh, ce formă complexă – ai observat că această curbă este formată din linii drepte?”. Oferiți conexiuni matematice cu orice fac copiii. Acest lucru este greu de făcut – necesită atât cunoștințe pedagogice, cât și cunoștințe de concepte matematice, dar poate fi învățat. Și toată lumea poate oferi cu ușurință sprijin general: ‘Ce interesant, voi cerceta mai mult’. Puteți apoi să căutați pe internet, sau să întrebați pe un forum al cercului de matematică, pentru a afla ce înseamnă din punct de vedere matematic.”
De asemenea, este util să aveți la îndemână o varietate de materiale interesante și să fiți de acord cu ideea ca copiii să ia pauze la nevoie. Droujkova a observat că, în majoritatea grupurilor, există unul sau doi copii care fac altceva, în timp ce restul fac activitatea principală. (Neparticipanții încă absorb o cantitate surprinzătoare, adaugă ea.)
Pushback-ul a venit în principal din partea a două tabere foarte diferite (și de obicei opuse). Una este cohorta „lăsați copiii să fie copii”, care se teme că legitimarea ideii de a implica copiii mici cu algebra și calculul îi va tenta pe cei de tip Tiger Mom să își împingă copiii în abstracțiuni formale în aceste materii la vârste din ce în ce mai mici, chiar dacă acest lucru ar fi complet lipsit de sens. Alți critici se încadrează în tabăra „back to basics”, care susține că toată această joacă îi va împiedica pe copii să devină fluenți în abilitățile tradiționale de calcul.
Droujkova consideră că aceste critici indică ceva mult mai mare: „Ele reflectă abisuri destul de profunde între diferite filosofii ale educației sau, în sens mai larg, diferențe în ceea ce privește viitorul pe care îl pregătim pentru copii. Atunci când atribuim o mulțime de exerciții similare, ne imaginăm copiii în situații care necesită o precizie industrială.” Dându-le copiilor puzzle-uri logice sau proiecte deschise, pe de altă parte, indică aspirații ca aceștia să crească și să devină exploratori sau designeri. „Nu funcționează atât de direct”, recunoaște ea, „dar aceste convingeri dictează ce educație matematică selectează sau fac adulții pentru copii.”
Există, de asemenea, unii care se îngrijorează dacă această abordare este practică pentru populațiile defavorizate. Droujkova spune că ea poate fi condusă de orice adult „oarecum alfabetizat”; cheia este să existe o rețea de sprijin adecvată. Ea și colegii săi se străduiesc să împuternicească rețelele locale și să îmbunătățească accesibilitatea pe toate fronturile: matematic, cultural și financiar. Ei au făcut ca materialele și cursurile lor să fie deschise sub Creative Commons și au conceput activități care necesită doar materiale ușor disponibile.
„Cunoștințele despre cum să faci ca învățarea deschisă, centrată pe comunitate, să fie disponibilă pentru populațiile lipsite de drepturi să fie în creștere”, notează Droujkova, citând experimentele lui Sugata Mitra și Dave Eggers. Centrele online pot conecta membri ai comunității care gândesc la fel, iar cursurile online și sprijinul sunt disponibile pentru părinții, profesorii și adolescenții care doresc să conducă grupuri locale.
Droujkova spune că una dintre cele mai mari provocări a fost mentalitatea adulților. Părinții sunt tentați să repete cu copiii lor „vechile vremuri proaste” de predare a matematicii, spune ea. Cu aceste jocuri de calcul și algebră, însă, „părinții spun că au parte de un nou început. … Ei pot experimenta din nou bucuria jocului matematic, ca niște copii într-o lume nouă.”
.