A sequência familiar e hierárquica de instrução matemática começa com a contagem, seguida pela adição e subtracção, depois pela multiplicação e divisão. O conjunto computacional se expande para incluir números cada vez maiores, e em algum momento, as frações entram na figura também. Em seguida, no início da adolescência, os alunos são introduzidos a padrões de números e letras, no tema totalmente novo da álgebra. Uma minoria de alunos então percorre o caminho da geometria, trigonometria e, finalmente, cálculo, que é considerado o auge da matemática de nível médio.
Mas esta progressão na verdade “não tem nada a ver com a forma como as pessoas pensam, como as crianças crescem e aprendem, ou como a matemática é construída”, diz a pioneira Maria Droujkova, educadora de matemática e desenhadora de currículo. Ela ecoa uma série de vozes de todo o mundo que querem revolucionar a forma como a matemática é ensinada, trazendo-a mais de acordo com estes princípios.
A sequência actual é meramente um acidente histórico entrincheirado que retira muito do que ela descreve como o “universo lúdico” da matemática, com as suas mais de 60 disciplinas de alto nível, e as suas manifestações em tudo, desde a tecelagem à construção, natureza, música e arte. Pior, o currículo padrão começa com aritmética, o que Droujkova diz ser muito mais difícil para crianças pequenas do que atividades lúdicas baseadas em campos supostamente mais avançados da matemática.
“Cálculos que as crianças são forçadas a fazer são muitas vezes tão inapropriados para o desenvolvimento, a experiência equivale a tortura”, diz ela. Eles também perdem o ponto essencial – que a matemática é fundamentalmente sobre padrões e estruturas, em vez de “pequenas manipulações de números”, como ela coloca. É como se os primeiros cineastas aprendessem primeiro sobre fantasias, iluminação e outros aspectos técnicos, em vez de criar histórias significativas.
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Isso faz com que muitas crianças se tornem matemáticas desde tenra idade. Isto também impede muitas outras de aprenderem matemática tão eficiente ou profundamente como de outra forma. Droujkova e seus colegas notaram que a maioria dos adultos que encontram têm “histórias de luto matemático”, como ela as descreve. Eles se lembram como um único curso – ou mesmo um único tópico, como frações – os desviou da pista sequencial. Ela mesma observou mais do que alguns adultos “explodir chorando durante as entrevistas, revivendo as ansiedades e as esperanças perdidas de seus jovens “
Droujkova, que ganhou seu PhD em educação matemática nos Estados Unidos depois de imigrar para cá da Ucrânia, defende uma abordagem mais holística que ela chama de “matemática natural”, que ela ensina para crianças tão novas quanto crianças pequenas, e seus pais. Esta abordagem, abordada no livro que ela co-autorizou com Yelena McManaman, “Moebius Noodles”: Matemática aventureira para a multidão do recreio”, depende do aproveitamento dos instintos poderosos e surpreendentemente produtivos dos alunos para uma exploração lúdica que os guie numa viagem pessoal pelo assunto. Diz Droujkova: “Estudos têm demonstrado que jogos ou brincadeiras livres são formas eficientes de aprendizagem para as crianças, e elas gostam deles. Eles também conduzem ao trabalho mais estruturado e ainda mais criativo de perceber, remixar e construir padrões matemáticos”
A descoberta de um caminho adequado depende da apreciação de um fato frequentemente negligenciado – que “a complexidade da idéia e a dificuldade de fazê-lo são dimensões separadas e independentes”, diz ela. “Infelizmente, muito do que é oferecido às crianças pequenas é simples, mas idéias difíceis de serem implementadas pelos seres humanos”, porque elas prontamente tributam os limites da memória de trabalho, atenção, precisão e outras funções cognitivas. Exemplos de atividades que caem no quadrante “simples, mas duras”: Construir uma trincheira com uma colher (um castigo militar que envolve muitas tarefas pequenas e repetitivas, semelhante a fazer 100 problemas de adição de dois dígitos em uma folha de trabalho típica, como aponta Droujkova), ou memorizar tabelas de multiplicação como fatos individuais ao invés de padrões.
Far melhor, diz ela, para começar criando experiências matemáticas ricas e sociais que são complexas (permitindo que sejam tomadas em muitas direções diferentes), mas fáceis (tornando-as propícias ao jogo imediato). Atividades que caem neste quadrante: construir uma casa com blocos LEGO, fazer cortes de origami ou flocos de neve, ou usar uma “caixa de funções” que transforma objetos (e também pode ser usada em combinação com uma segunda máquina para compor funções, ou ao contrário para inverter uma função, e assim por diante).
“Você pode pegar qualquer ramo da matemática e encontrar coisas que são ao mesmo tempo complexas e fáceis nele”, diz Droujkova. “Minha busca, com vários colegas ao redor do mundo, é pegar o tesouro da matemática e encontrar os caminhos acessíveis em tudo isso”.
Ela começou com álgebra e cálculo, porque eles são “ferramentas de pattern-drafter, ferramentas de designer, ferramentas de maker – eles suportam o cool free play”. Então “Moebius Noodles” inclui atividades como fazer fractais (para promover uma apreciação das idéias de recorrência e infinitesimais) e “livros-espelho” (espelhos que são colados uns aos outros como as capas de um livro e podem ser angulados de diferentes maneiras em torno de um objeto para introduzir os conceitos de infinito e transformações). (Outro livro deste género é “Calculus by and for Young People”, de Don Cohen.)
“Não é o tema de cálculo como formalmente ensinado na faculdade”, notas de Droujkova. “Mas antes de chegarmos lá, queremos ter um jogo prático, fundamentado e metafórico. No nível do jogo livre, você está aprendendo de uma forma muito fundamental – você realmente possui seu conceito, mentalmente, fisicamente, emocionalmente, culturalmente”. Esta abordagem “dá-te raízes profundas, para que o dossel da alta abstracção não murche”. O que é aprendido sem jogo é qualitativamente diferente. Ajuda com a realização de testes e exercícios mundanos, mas não faz nada para o pensamento lógico e resolução de problemas. Estas coisas são separadas, e você não pode chegar aqui de lá”
Ela não espera que as crianças sejam capazes de resolver equações formais aos cinco anos de idade, mas tudo bem. “Há níveis de compreensão”, diz ela. “Você não quer algemar as pessoas para um entendimento formal muito cedo.” Depois do nível informal vem o nível em que os alunos discutem ideias e notam padrões. Depois vem o nível formal, onde os alunos podem usar palavras abstratas, gráficos e fórmulas. Mas idealmente, um aspecto lúdico é mantido ao longo de toda a jornada. “Isto é o que os matemáticos fazem – eles brincam com idéias abstratas, mas eles ainda brincam”
Droujkova observa que a matemática natural – cujo slogan é “faça sua própria matemática, para fazer sua própria matemática” – é essencialmente um “movimento de liberdade”. Ela explica: “Trabalhamos pela liberdade a muitos níveis – o jogo livre das crianças, a agência das famílias e grupos locais na organização de actividades matemáticas, a autonomia dos artistas e criadores, e até mesmo a liberdade para nós designers de currículos. … Nenhuma peça de matemática é certa para todos. As pessoas são diferentes, e as pessoas precisam abordar a matemática de forma diferente”
Por exemplo, em um grupo aprendendo sobre as propriedades dos losangos, uma pessoa artisticamente inclinada pode preferir desenhar um losango, um programador pode codificar um, um filósofo pode discutir a essência do losango, e um mestre de origami pode dobrar um losango de papel.
Nem é necessário que todos aprendam qualquer peça de matemática em particular, além do que é essencial para funcionar em sua cultura. Muitas pessoas vivem até uma velhice madura e feliz sem conhecer o cálculo, por exemplo. “Ao mesmo tempo, o mundo estaria melhor com uma maior alfabetização para a matemática, e a humanidade como um todo precisa de matemática avançada para passar os próximos 100 anos, porque há problemas bastante complexos que estamos enfrentando”
As crianças precisam ser expostas a uma variedade de estilos matemáticos para encontrar aquele que melhor lhes convém. Mas elas também precisam ver pessoas significativas (para elas) fazendo coisas significativas com a matemática e aproveitando a experiência. Os círculos matemáticos, onde as pessoas se ajudam umas às outras, estão a crescer rapidamente e são uma forma de o conseguir. O conhecimento matemático (atividades e exemplos) “deve vir com comunidades de prática que ajudem os novatos a fazer sentido disto”, diz Droujkova. “Um não funciona sem o outro”
Independentemente disso, para que o aprendizado seja o mais eficiente e profundo possível, é essencial que ele seja feito livremente. Isso significa dar às crianças uma voz na qual as atividades possam participar, por quanto tempo, e também o nível de domínio que elas querem alcançar. (“Este é o maior choque com o desenvolvimento curricular tradicional”, observa Droujkova.)
Os adultos devem estar preparados para aqueles momentos em que uma criança prefere fazer algo diferente da atividade planejada. Diz Droujkova: “O papel dos adultos é inspirar, dizendo coisas como, ‘Ooh, que forma complexa – você notou que a curva é feita de linhas retas? Fornecer ligações matemáticas com o que quer que as crianças estejam a fazer. Isto é difícil de fazer – requer conhecimentos tanto pedagógicos como de conceitos matemáticos, mas pode ser aprendido. E todos podem facilmente dar apoio geral: “Que interessante, eu vou investigar mais. Você pode então olhar online, ou perguntar em um fórum em círculo matemático, para descobrir o que significa matematicamente”
Também é útil ter uma variedade de materiais interessantes em mãos e ficar bem com a idéia de as crianças fazerem pausas conforme necessário. Droujkova notou que na maioria dos grupos, há uma ou duas crianças que fazem outra coisa, enquanto os outros fazem a atividade principal. (Os não participantes ainda absorvem uma quantidade surpreendente, ela acrescenta.)
Pushback veio principalmente de dois campos muito diferentes (e geralmente opostos). Um é a coorte “deixar as crianças serem crianças”, que se preocupa que legitimar a idéia de envolver crianças pequenas com álgebra e cálculo vai tentar os tipos de mães tigresas a empurrar seus filhos para abstrações formais nestes assuntos em idades cada vez mais jovens, mesmo que isso não fosse o ponto. Outros críticos caem no acampamento “de volta ao básico”, que afirma que toda essa brincadeira evitará que as crianças se tornem fluidas nas habilidades tradicionais de cálculo.
Droujkova vê essas críticas como indicativas de algo muito maior: “Elas refletem abismos bastante profundos entre diferentes filosofias de educação, ou mais amplamente, diferenças nos futuros que preparamos para as crianças”. Quando atribuímos muitos exercícios semelhantes, imaginamos crianças em situações que requerem precisão industrial”. Dar às crianças puzzles de lógica ou projetos abertos, por outro lado, indica aspirações de que elas cresçam para se tornarem exploradoras ou designers. “Não funciona diretamente”, admite ela, “mas estas crenças ditam que educação matemática os adultos selecionam ou fazem para as crianças”
Há também quem se preocupe se esta abordagem é prática para as populações marginalizadas. Droujkova diz que ela pode ser liderada por qualquer adulto “um pouco alfabetizado”; a chave é ter a rede de apoio certa no lugar. Ela e seus colegas estão se esforçando para fortalecer as redes locais e melhorar a acessibilidade em todas as frentes: matemática, cultural e financeira. Eles fizeram seus materiais e cursos abertos sob Creative Commons, e projetaram atividades que requerem apenas materiais prontamente disponíveis.
“O know-how sobre como tornar a aprendizagem aberta e centrada na comunidade disponível para as populações desfavorecidas está crescendo”, observa Droujkova, citando experiências de Sugata Mitra e Dave Eggers. Os centros online podem conectar membros da comunidade que pensam da mesma maneira, e cursos e apoio online estão disponíveis para pais, professores e adolescentes que querem liderar grupos locais.
Droujkova diz que um dos maiores desafios tem sido a mentalidade dos adultos. Os pais são tentados a repetir os seus “maus velhos tempos” de ensino de matemática com os seus filhos, diz ela. Com estes jogos de cálculo e álgebra, no entanto, “os pais dizem que eles têm um novo começo”. … Eles podem experimentar a alegria de jogar de novo matemática, como bebês em um novo mundo”