La conocida secuencia jerárquica de la enseñanza de las matemáticas comienza con el conteo, seguido de la suma y la resta, y luego la multiplicación y la división. El conjunto de cálculos se amplía para incluir números cada vez más grandes y, en algún momento, las fracciones también entran en escena. A continuación, al principio de la adolescencia, los alumnos se introducen en los patrones de números y letras, en la asignatura totalmente nueva del álgebra. Una minoría de estudiantes se abre camino a través de la geometría, la trigonometría y, finalmente, el cálculo, que se considera la cúspide de las matemáticas de nivel secundario.
Pero esta progresión en realidad «no tiene nada que ver con la forma de pensar de las personas, con la forma en que los niños crecen y aprenden, o con la forma en que se construyen las matemáticas», dice la pionera educadora matemática y diseñadora de planes de estudio Maria Droujkova. Ella se hace eco de una serie de voces de todo el mundo que quieren revolucionar la forma en que se enseñan las matemáticas, poniéndolas más en consonancia con estos principios.
La secuencia actual no es más que un accidente histórico arraigado que quita gran parte de la diversión de lo que ella describe como el «universo lúdico» de las matemáticas, con sus más de 60 disciplinas de primer nivel, y sus manifestaciones en todo, desde el tejido hasta la construcción, la naturaleza, la música y el arte. Peor aún, el plan de estudios estándar comienza con la aritmética, que según Droujkova es mucho más difícil para los niños pequeños que las actividades lúdicas basadas en campos matemáticos supuestamente más avanzados.
«Los cálculos a los que se obliga a los niños son a menudo tan inapropiados para su desarrollo que la experiencia equivale a una tortura», afirma. Además, no tienen en cuenta lo esencial: que las matemáticas tratan fundamentalmente de patrones y estructuras, más que de «pequeñas manipulaciones de números», como dice ella. Es como si los directores de cine en ciernes aprendieran primero el vestuario, la iluminación y otros aspectos técnicos, en lugar de crear historias significativas.
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Esto aleja a muchos niños de las matemáticas desde una edad temprana. También impide que muchos otros aprendan matemáticas de forma tan eficiente o profunda como podrían hacerlo de otro modo. Droujkova y sus colegas se han dado cuenta de que la mayoría de los adultos que conocen tienen «historias de dolor por las matemáticas», como ella las describe. Recuerdan cómo un solo curso -o incluso un solo tema, como las fracciones- les apartó de la vía secuencial. Ella misma ha visto a más de un adulto «romper a llorar durante las entrevistas, reviviendo las ansiedades y las esperanzas perdidas de su juventud»
Droujkova, que se doctoró en educación matemática en Estados Unidos tras emigrar aquí desde Ucrania, aboga por un enfoque más holístico que denomina «matemáticas naturales», que enseña a los niños desde pequeños y a sus padres. Este enfoque, recogido en el libro del que es coautora con Yelena McManaman, «Moebius Noodles: Matemáticas aventureras para el público del patio», se basa en aprovechar el poderoso y sorprendentemente productivo instinto de exploración lúdica de los alumnos para guiarlos en un viaje personal a través de la asignatura. Dice Droujkova: «Los estudios han demostrado que los juegos o el juego libre son formas eficaces de aprender para los niños, y que disfrutan con ellos. También abren el camino al trabajo más estructurado e incluso más creativo de observar, remezclar y construir patrones matemáticos».
Encontrar un camino adecuado depende de apreciar un hecho que a menudo se pasa por alto: que «la complejidad de la idea y la dificultad de hacerla son dimensiones separadas e independientes», dice. «Desgraciadamente, mucho de lo que se ofrece a los niños pequeños son ideas sencillas pero difíciles de poner en práctica para los humanos», porque ponen a prueba los límites de la memoria de trabajo, la atención, la precisión y otras funciones cognitivas. Ejemplos de actividades que entran en el cuadrante «simple pero difícil»: Construir una trinchera con una cuchara (un castigo militar que implica muchas tareas pequeñas y repetitivas, similares a hacer 100 problemas de suma de dos dígitos en una hoja de trabajo típica, como señala Droujkova), o memorizar las tablas de multiplicar como hechos individuales en lugar de patrones.
Mucho mejor, dice, es empezar por crear experiencias matemáticas ricas y sociales que sean complejas (permitiendo que se lleven en muchas direcciones diferentes) pero fáciles (haciéndolas propicias para el juego inmediato). Actividades que entran en este cuadrante: construir una casa con bloques de LEGO, hacer origami o recortes de copos de nieve, o usar una «caja de funciones» de mentira que transforma objetos (y que también puede usarse en combinación con una segunda máquina para componer funciones, o al revés para invertir una función, etc.).
«Se puede tomar cualquier rama de las matemáticas y encontrar en ella cosas que sean a la vez complejas y fáciles», dice Droujkova. «Mi búsqueda, con varios colegas de todo el mundo, es coger el tesoro de las matemáticas y encontrar las formas accesibles de entrar en todas ellas».
Empezó con el álgebra y el cálculo, porque son «herramientas de creación de patrones, herramientas de diseño, herramientas de creación: permiten un juego libre genial». Así que «Moebius Noodles» incluye actividades como hacer fractales (para fomentar la apreciación de las ideas de recursividad e infinitesimales) y «libros de espejos» (espejos que se pegan unos a otros como las tapas de un libro y que se pueden inclinar de diferentes maneras alrededor de un objeto para introducir los conceptos de infinito y transformaciones). (Otro libro de este género es «Calculus by and for Young People», de Don Cohen.)
«No es la asignatura de cálculo que se enseña formalmente en la universidad», señala Droujkova. «Pero antes de llegar a eso, queremos tener un juego práctico, fundamentado y metafórico. En el nivel de juego libre, estás aprendiendo de una manera muy fundamental: te apropias realmente de tu concepto, mentalmente, físicamente, emocionalmente, culturalmente». Este enfoque «te da raíces profundas, para que el dosel de la alta abstracción no se marchite. Lo que se aprende sin el juego es cualitativamente diferente. Ayuda a realizar exámenes y ejercicios mundanos, pero no hace nada por el pensamiento lógico y la resolución de problemas. Estas cosas están separadas, y no se puede llegar aquí desde allí»
No espera que los niños sean capaces de resolver ecuaciones formales a los cinco años, pero eso está bien. «Hay niveles de comprensión», dice. «No quieres encadenar a la gente a una comprensión formal demasiado pronto». Después del nivel informal viene el nivel en el que los estudiantes discuten ideas y notan patrones. Luego viene el nivel formal, en el que los alumnos pueden utilizar palabras abstractas, gráficos y fórmulas. Pero lo ideal es que se mantenga un aspecto lúdico a lo largo de todo el recorrido. «Esto es lo que hacen los matemáticos: juegan con ideas abstractas, pero siguen jugando».
Droujkova señala que la matemática natural -cuyo eslogan es «haz la matemática tuya, para hacer tu propia matemática»- es esencialmente un «movimiento de libertad». Ella explica: «Trabajamos por la libertad a muchos niveles: el juego libre de los niños, la capacidad de las familias y los grupos locales para organizar actividades matemáticas, la autonomía de los artistas y los creadores, e incluso la libertad de los diseñadores de planes de estudio. … Ninguna matemática es adecuada para todo el mundo. Por ejemplo, en un grupo de aprendizaje sobre las propiedades de los rombos, una persona con inclinación artística puede preferir dibujar un rombo, un programador puede codificar uno, un filósofo puede discutir la esencia de los rombos y un maestro del origami puede doblar un rombo de papel.
Tampoco es necesario que todo el mundo aprenda alguna matemática en particular, aparte de lo que es esencial para funcionar en su cultura. Mucha gente vive hasta una edad madura y feliz sin saber cálculo, por ejemplo. «Al mismo tiempo, el mundo estaría mejor con una mayor alfabetización matemática, y la humanidad en su conjunto necesita unas matemáticas avanzadas para superar los próximos 100 años, porque hay problemas bastante complejos a los que nos enfrentamos»
Los niños necesitan estar expuestos a una variedad de estilos matemáticos para encontrar el que más les conviene. Pero también necesitan ver a personas significativas (para ellos) haciendo cosas significativas con las matemáticas y disfrutando de la experiencia. Los círculos matemáticos, en los que la gente se ayuda mutuamente, están creciendo rápidamente y son una forma de conseguirlo. Los conocimientos matemáticos (actividades y ejemplos) «deben ir acompañados de comunidades de práctica que ayuden a los novatos a darles sentido», dice Droujkova. «Lo uno no funciona sin lo otro».
Independientemente de ello, para que el aprendizaje sea lo más eficiente y profundo posible, es esencial que se haga con libertad. Eso significa dar a los niños la posibilidad de decidir en qué actividades participar, durante cuánto tiempo y también el nivel de dominio que quieren alcanzar. («Este es el mayor choque con el desarrollo curricular tradicional», señala Droujkova.)
Los adultos deben estar preparados para esos momentos en los que un niño prefiere estar haciendo algo distinto a la actividad prevista. Dice Droujkova: «El papel de los adultos es inspirar, diciendo cosas como: ‘Oh, qué forma tan compleja, ¿te has dado cuenta de que la curva está hecha de líneas rectas? Proporcionar conexiones matemáticas con lo que los niños están haciendo. Esto es difícil de hacer: requiere conocimientos pedagógicos y de conceptos matemáticos, pero se puede aprender. Y todo el mundo puede dar fácilmente un apoyo general: ‘Qué interesante, voy a investigar más’. Luego se puede buscar en internet, o preguntar en un foro de círculos matemáticos, para saber qué significa matemáticamente»
También es útil tener a mano una variedad de materiales interesantes y estar de acuerdo con la idea de que los niños se tomen los descansos que sean necesarios. Droujkova se ha dado cuenta de que en la mayoría de los grupos, hay uno o dos niños que hacen otra cosa, mientras el resto hace la actividad principal. (Los que no participan siguen absorbiendo una cantidad sorprendente, añade.)
Las reacciones provienen principalmente de dos campos muy diferentes (y normalmente opuestos). Uno de ellos es la cohorte de «dejar que los niños sean niños», a la que le preocupa que legitimar la idea de involucrar a los niños pequeños con el álgebra y el cálculo tentará a las madres tigresas a empujar a sus hijos hacia las abstracciones formales en estas materias a edades cada vez más tempranas, a pesar de que eso perdería completamente el sentido. Otros críticos se sitúan en el campo de la «vuelta a lo básico», que sostiene que todo este juego impedirá que los niños adquieran fluidez en las habilidades de cálculo tradicionales.
Droujkova considera que estas críticas son indicativas de algo mucho mayor: «Reflejan abismos bastante profundos entre diferentes filosofías de la educación, o más ampliamente, diferencias en los futuros que preparamos para los niños. Cuando asignamos muchos ejercicios similares, nos imaginamos a los niños en situaciones que requieren precisión industrial». Dar a los niños rompecabezas de lógica o proyectos abiertos, en cambio, indica la aspiración de que crezcan para convertirse en exploradores o diseñadores. «No funciona de forma tan directa», reconoce, «pero estas creencias dictan la educación matemática que los mayores seleccionan o hacen para los niños».
También hay quien se preocupa por si este enfoque es práctico para las poblaciones desfavorecidas. Droujkova dice que puede ser dirigido por cualquier adulto «algo instruido»; la clave es contar con la red de apoyo adecuada. Ella y sus colegas se esfuerzan por potenciar las redes locales y mejorar la accesibilidad en todos los frentes: matemático, cultural y financiero. Han hecho que sus materiales y cursos estén abiertos bajo Creative Commons, y han diseñado actividades que sólo requieren materiales fácilmente disponibles.
«Los conocimientos sobre cómo hacer que el aprendizaje abierto centrado en la comunidad esté disponible para las poblaciones privadas de derechos están creciendo», señala Droujkova, citando los experimentos de Sugata Mitra y Dave Eggers. Los centros en línea pueden conectar a miembros de la comunidad con ideas afines, y los cursos y el apoyo en línea están disponibles para padres, profesores y adolescentes que quieran dirigir grupos locales.
Droujkova dice que uno de los mayores desafíos ha sido la mentalidad de los adultos. Los padres tienen la tentación de reproducir sus «malos tiempos» de enseñanza de las matemáticas con sus hijos, dice. Sin embargo, con estos juegos de cálculo y álgebra, «los padres dicen que tienen un nuevo comienzo. … Pueden experimentar la alegría del juego matemático de nuevo, como bebés en un mundo nuevo».