De vertrouwde, hiërarchische volgorde van rekenonderwijs begint met tellen, gevolgd door optellen en aftrekken, en vervolgens vermenigvuldigen en delen. Het rekenpakket breidt zich uit met steeds grotere getallen en op een gegeven moment komen ook breuken in beeld. Dan, in de vroege adolescentie, maken de leerlingen kennis met patronen van getallen en letters, in het geheel nieuwe vak algebra. Een minderheid van de leerlingen baant zich vervolgens een weg door de meetkunde, de trigonometrie en ten slotte de calculus, die wordt beschouwd als het summum van wiskunde op de middelbare school.
Maar deze progressie heeft eigenlijk “niets te maken met hoe mensen denken, hoe kinderen groeien en leren, of hoe wiskunde in elkaar zit”, zegt de baanbrekende wiskunde-educator en leerplanontwerper Maria Droujkova. Ze sluit zich aan bij een aantal stemmen uit de hele wereld die een revolutie willen ontketenen in de manier waarop wiskunde wordt onderwezen, door het meer in lijn te brengen met deze principes.
De huidige volgorde is niet meer dan een vastgeroest historisch ongeluk dat veel van het plezier wegneemt uit wat zij omschrijft als het “speelse universum” van de wiskunde, met zijn meer dan 60 disciplines op topniveau, en zijn manifestaties in alles van weven tot bouwen, natuur, muziek en kunst. Erger nog, het standaardcurriculum begint met rekenen, dat volgens Droujkova veel moeilijker is voor jonge kinderen dan speelse activiteiten die gebaseerd zijn op zogenaamd meer geavanceerde wiskundegebieden.
“Berekeningen waartoe kinderen gedwongen worden, zijn vaak zo ongeschikt voor hun ontwikkeling, dat de ervaring neerkomt op marteling,” zegt ze. Ze missen ook de essentie, namelijk dat wiskunde in essentie over patronen en structuren gaat, en niet over “kleine manipulaties van getallen”, zoals zij het uitdrukt. Het is te vergelijken met filmmakers in spe die eerst leren over kostuums, belichting en andere technische aspecten, in plaats van over het maken van betekenisvolle verhalen.
Meer Verhalen
Dit schrikt veel kinderen al op jonge leeftijd af van wiskunde. Het weerhoudt veel anderen er ook van om wiskunde zo efficiënt of diepgaand te leren als ze anders zouden kunnen. Droujkova en haar collega’s hebben gemerkt dat de meeste volwassenen die ze ontmoeten “wiskundeverdrietverhalen” hebben, zoals zij het omschrijft. Ze herinneren zich hoe een enkele cursus – of zelfs een enkel onderwerp, zoals breuken – hen van het sequentiële pad afhield. Zelf heeft ze meer dan een paar volwassenen gezien die “in huilen uitbarstten tijdens interviews, terwijl ze de angsten en verloren hoop van hun jonge zelf herbeleefden.”
Droujkova, die haar doctoraat in wiskundeonderwijs in de Verenigde Staten behaalde nadat ze vanuit Oekraïne hierheen emigreerde, pleit voor een meer holistische aanpak die ze “natuurlijke wiskunde” noemt en die ze onderwijst aan kinderen vanaf peuters en hun ouders. Deze aanpak, beschreven in het boek dat ze samen met Yelena McManaman heeft geschreven, “Moebius Noodles: Adventurous math for the playground crowd,” draait om het inzetten van de krachtige en verrassend productieve instincten van leerlingen voor speelse exploratie om hen te begeleiden op een persoonlijke reis door het onderwerp. Droujkova: “Studies hebben aangetoond dat spelletjes of vrij spel voor kinderen efficiënte manieren zijn om te leren, en dat ze er plezier aan beleven. Ze leiden ook de weg naar het meer gestructureerde en zelfs creatievere werk van het opmerken, opnieuw mixen en bouwen van wiskundige patronen.”
Het vinden van een geschikte weg hangt af van het waarderen van een vaak over het hoofd gezien feit – dat “de complexiteit van het idee en de moeilijkheid om het uit te voeren afzonderlijke, onafhankelijke dimensies zijn,” zegt ze. “Helaas zijn veel van de ideeën die kleine kinderen aangeboden krijgen eenvoudige, maar harde, primitieve ideeën die voor mensen moeilijk uit te voeren zijn,” omdat ze de grenzen van het werkgeheugen, aandacht, precisie en andere cognitieve functies gemakkelijk belasten. Voorbeelden van activiteiten die in het “eenvoudig maar moeilijk” kwadrant vallen: Het bouwen van een loopgraaf met een lepel (een militaire straf die veel kleine, repetitieve taken omvat, vergelijkbaar met het doen van 100 optelopgaven van twee cijfers op een typisch werkblad, zoals Droujkova opmerkt), of het uit het hoofd leren van vermenigvuldigingstafels als afzonderlijke feiten in plaats van patronen.
Veel beter, zegt ze, is om te beginnen met het creëren van rijke en sociale wiskundige ervaringen die complex zijn (waardoor ze in veel verschillende richtingen kunnen worden gebruikt), maar toch gemakkelijk (waardoor ze bevorderlijk zijn voor direct spel). Activiteiten die in dit kwadrant vallen: een huis bouwen met LEGO-blokjes, origami of sneeuwvlokken knippen, of een namaak “functiedoos” gebruiken die objecten transformeert (en ook gebruikt kan worden in combinatie met een tweede machine om functies samen te stellen, of achterstevoren om een functie om te keren, enzovoort).
“Je kunt elke tak van wiskunde nemen en er dingen in vinden die zowel complex als makkelijk zijn,” zegt Droujkova. “
Hij is begonnen met algebra en calculus, omdat dat “gereedschappen zijn om patronen te tekenen, te ontwerpen, te maken – ze ondersteunen cool vrij spel”. Moebius Noodles” bevat daarom activiteiten zoals het maken van fractals (om de ideeën van recursie en oneindig kleine deeltjes te leren waarderen) en “spiegelboeken” (spiegels die aan elkaar zijn geplakt als de kaften van een boek en op verschillende manieren rond een voorwerp kunnen worden gekanteld om de begrippen oneindigheid en transformaties te introduceren). (Een ander boek in dit genre is “Calculus by and for Young People,” door Don Cohen.)
“Het is niet het onderwerp van calculus zoals dat formeel op de universiteit wordt onderwezen,” merkt Droujkova op. “Maar voordat we zover zijn, willen we eerst praktisch, geaard en metaforisch spel. Op het niveau van vrij spel leer je op een heel fundamentele manier – je bent echt eigenaar van je concept, mentaal, fysiek, emotioneel, cultureel.” Deze aanpak “geeft je diepe wortels, zodat het bladerdak van de hoge abstractie niet verdort. Wat geleerd wordt zonder spel is kwalitatief anders. Het helpt bij het maken van toetsen en alledaagse oefeningen, maar het doet niets voor logisch denken en het oplossen van problemen. Die dingen staan los van elkaar, en je kunt hier niet komen van daar.”
Ze verwacht niet dat kinderen op hun vijfde al formele vergelijkingen kunnen oplossen, maar dat is niet erg. “Er zijn verschillende niveaus van begrip,” zegt ze. “Je wilt mensen niet te vroeg vastpinnen op een formeel begrip.” Na het informele niveau komt het niveau waarop leerlingen ideeën bespreken en patronen opmerken. Dan komt het formele niveau, waar leerlingen abstracte woorden, grafieken en formules kunnen gebruiken. Maar idealiter blijft het speelse aspect tijdens de hele reis behouden. “Dit is wat wiskundigen doen – ze spelen met abstracte ideeën, maar ze spelen nog steeds.”
Droujkova merkt op dat natuurlijke wiskunde – met als slogan “maak wiskunde je eigen, om je eigen wiskunde te maken” – in wezen een “vrijheidsbeweging” is. Ze legt uit: “We werken aan vrijheid op vele niveaus – het vrije spel van kleine kinderen, de zeggenschap van gezinnen en lokale groepen in het organiseren van wiskunde-activiteiten, de autonomie van kunstenaars en makers, en zelfs vrijheid voor ons als leerplanontwerpers. … Geen enkel stuk wiskunde is geschikt voor iedereen. Mensen zijn verschillend, en mensen moeten wiskunde op verschillende manieren benaderen.”
In een groep die over de eigenschappen van ruitjes leert, zou iemand met een artistieke inslag bijvoorbeeld het liefst een ruit tekenen, een programmeur zou er een kunnen coderen, een filosoof zou kunnen discussiëren over de essentie van ruitjes, en een origami-meester zou een papieren ruitje kunnen vouwen.
Niet iedereen hoeft een bepaald stuk wiskunde te leren, afgezien van wat essentieel is om in zijn of haar cultuur te functioneren. Veel mensen worden rijp en gelukkig oud zonder calculus te kennen, bijvoorbeeld. “Tegelijkertijd zou de wereld beter af zijn met een hogere wiskunde-geletterdheid, en de mensheid als geheel heeft geavanceerde wiskunde nodig om de komende 100 jaar door te komen, want er zijn behoorlijk complexe problemen waar we voor staan.”
Kinderen moeten worden blootgesteld aan een verscheidenheid aan wiskundestijlen om de stijl te vinden die het beste bij hen past. Maar ze moeten ook zien dat zinvolle (voor hen) mensen zinvolle dingen doen met wiskunde en daar plezier aan beleven. Wiskringen, waar mensen elkaar helpen, groeien snel en zijn een manier om dit te bereiken. Wiskunde-knowhow (activiteiten en voorbeelden) “moet gepaard gaan met praktijkgemeenschappen die nieuwkomers helpen er wijs uit te worden”, zegt Droujkova. “Het een werkt niet zonder het ander.”
Hoe dan ook, als we zo efficiënt en diep mogelijk willen leren, is het essentieel dat dit in vrijheid gebeurt. Dat betekent dat kinderen zelf moeten kunnen bepalen aan welke activiteiten ze deelnemen, hoe lang, en ook welk niveau van beheersing ze willen bereiken. (“Dit is het grootste conflict met traditionele leerplanontwikkeling,” merkt Droujkova op.)
Volwassenen moeten voorbereid zijn op die momenten dat een kind liever iets anders doet dan de geplande activiteit. Droujkova zegt: “De rol van volwassenen is om te inspireren, door dingen te zeggen als: ‘Ooh, wat een complexe vorm – is het je opgevallen dat de curve uit rechte lijnen bestaat?’ Zorg voor wiskundige verbanden met wat kinderen ook aan het doen zijn. Dit is moeilijk te doen – het vereist zowel pedagogische kennis als kennis van wiskundige concepten, maar het kan worden geleerd. En iedereen kan gemakkelijk algemene steun geven: ‘Wat ontzettend interessant, ik zal het verder onderzoeken.’ Je kunt dan online kijken, of op een wiskundekring-forum vragen wat het wiskundig betekent.”
Het is ook handig om een verscheidenheid aan interessante materialen bij de hand te hebben en om het goed te vinden dat kinderen pauzes nemen als dat nodig is. Droujkova heeft gemerkt dat in de meeste groepen een of twee kinderen iets anders doen, terwijl de rest de hoofdactiviteit doet. (De niet-deelnemers nemen nog steeds verrassend veel op, voegt ze eraan toe.)
ushback is voornamelijk afkomstig van twee zeer verschillende (en meestal tegengestelde) kampen. Het ene kamp is dat van de “laat kinderen kind zijn”-cohort, die zich zorgen maakt dat het legitimeren van het idee om peuters met algebra en wiskunde bezig te houden, Tiger Mom-types in de verleiding zal brengen om hun kinderen op steeds jongere leeftijd met formele abstracties in deze vakken te confronteren, ook al zou dat volledig aan het doel voorbijgaan. Andere critici vallen in het kamp van de “back to basics”, die beweren dat al dit spelen zal voorkomen dat kinderen vloeiend worden in traditionele rekenvaardigheden.
Droujkova ziet deze kritiek als een indicatie van iets veel groters: “Ze weerspiegelen vrij diepe kloven tussen verschillende onderwijsfilosofieën, of breder, verschillen in de toekomst die we voor kinderen hebben uitgestippeld. Als we kinderen veel vergelijkbare opdrachten geven, zien we ze in situaties die industriële precisie vereisen. Kinderen logische puzzels of open projecten geven, daarentegen, geeft aan dat we ernaar streven dat ze opgroeien tot ontdekkingsreizigers of ontwerpers. “
Zo direct werkt het niet,” geeft ze toe, “maar deze overtuigingen dicteren wel welk wiskundeonderwijs de volwassenen voor de kinderen kiezen of maken. Droujkova zegt dat het kan worden geleid door elke “enigszins geletterde” volwassene; het belangrijkste is dat er een goed ondersteunend netwerk is. Zij en haar collega’s streven ernaar lokale netwerken te versterken en de toegankelijkheid op alle fronten te verbeteren: wiskundig, cultureel en financieel. Ze hebben hun materiaal en cursussen opengesteld onder Creative Commons, en hebben activiteiten ontworpen waarvoor alleen direct beschikbaar materiaal nodig is.
“De kennis over het beschikbaar maken van gemeenschapsgericht, open leren voor achtergestelde bevolkingsgroepen groeit,” merkt Droujkova op, verwijzend naar experimenten van Sugata Mitra en Dave Eggers. Online hubs kunnen gelijkgestemde gemeenschapsleden met elkaar in contact brengen, en online cursussen en ondersteuning zijn beschikbaar voor ouders, leraren en tieners die lokale groepen willen leiden.
Droujkova zegt dat een van de grootste uitdagingen de mentaliteit van de volwassenen is geweest. Ouders zijn geneigd om hun “slechte oude tijd” van wiskundeonderwijs met hun kinderen na te spelen, zegt ze. Maar met deze calculus- en algebra-spellen “zeggen ouders dat ze een nieuwe start krijgen. … Ze kunnen de vreugde van het wiskundige spel opnieuw ervaren, als baby’s in een nieuwe wereld.”