Znana, hierarchiczna sekwencja instrukcji matematycznych zaczyna się od liczenia, potem następuje dodawanie i odejmowanie, a następnie mnożenie i dzielenie. Zestaw obliczeniowy poszerza się o coraz większe liczby, a w pewnym momencie do gry wchodzą również ułamki. We wczesnej młodości uczniowie poznają wzory liczbowe i literowe w zupełnie nowym przedmiocie, jakim jest algebra. Mniejszość uczniów przechodzi następnie przez geometrię, trygonometrię i wreszcie rachunek, który jest uważany za szczytowe osiągnięcie matematyki na poziomie szkoły średniej.
Ale ta progresja właściwie „nie ma nic wspólnego z tym, jak ludzie myślą, jak dzieci się rozwijają i uczą, ani z tym, jak matematyka jest zbudowana” – mówi pionierka edukacji matematycznej i autorka programów nauczania Maria Droujkova. Przywołuje ona liczne głosy z całego świata, które chcą zrewolucjonizować sposób nauczania matematyki, dostosowując go do tych zasad.
Obecna sekwencja jest jedynie zakorzenionym wypadkiem historycznym, który pozbawia wiele radości z tego, co Maria opisuje jako „zabawny wszechświat” matematyki, z jej ponad 60 dyscyplinami najwyższego poziomu i jej przejawami we wszystkim, od tkactwa po budownictwo, naturę, muzykę i sztukę. Co gorsza, standardowy program nauczania zaczyna się od arytmetyki, która zdaniem Droujkovej jest o wiele trudniejsza dla małych dzieci niż zabawy oparte na rzekomo bardziej zaawansowanych dziedzinach matematyki.
„Obliczenia, do których zmuszane są dzieci, są często tak nieodpowiednie z punktu widzenia rozwoju, że doświadczenie to równa się torturom” – mówi. Brakuje w nich również istotnego punktu – że matematyka to przede wszystkim wzory i struktury, a nie „małe manipulacje liczbami”, jak to określa. To tak, jakby początkujący filmowcy uczyli się najpierw o kostiumach, oświetleniu i innych technicznych aspektach, a nie o tworzeniu znaczących historii.
Więcej historii
To zniechęca wiele dzieci do matematyki już w młodym wieku. Uniemożliwia też wielu innym uczenie się matematyki tak skutecznie i dogłębnie, jak mogłoby to mieć miejsce w innych okolicznościach. Droujkova i jej koledzy zauważyli, że większość dorosłych, z którymi się spotykają, ma „historie matematycznego smutku”, jak je określa. Przypominają sobie, jak jeden kurs – lub nawet jeden temat, taki jak ułamki – sprawił, że przestali podążać ścieżką sekwencyjną. Sama obserwowała więcej niż kilku dorosłych, którzy „wybuchali płaczem podczas wywiadów, przeżywając lęki i utracone nadzieje swoich młodych jaźni.”
Droujkova, która uzyskała tytuł doktora w dziedzinie edukacji matematycznej w Stanach Zjednoczonych po imigracji z Ukrainy, opowiada się za bardziej holistycznym podejściem, które nazywa „naturalną matematyką”, której uczy dzieci tak małe jak maluchy i ich rodziców. Podejście to, opisane w książce, której jest współautorką wraz z Yeleną McManaman, „Moebius Noodles: Moebius Noodles: Adventurous math for the playground crowd”, opiera się na wykorzystaniu potężnych i zaskakująco produktywnych instynktów uczniów do zabawowej eksploracji, aby poprowadzić ich w osobistą podróż przez przedmiot. Mówi Droujkova: „Badania wykazały, że gry i swobodna zabawa są dla dzieci skutecznymi sposobami uczenia się, które sprawiają im przyjemność. Prowadzą one również do bardziej ustrukturyzowanej i jeszcze bardziej kreatywnej pracy polegającej na zauważaniu, remiksowaniu i budowaniu wzorów matematycznych.”
Znalezienie właściwej drogi zależy od docenienia często pomijanego faktu, że „złożoność pomysłu i trudność jego wykonania to odrębne, niezależne wymiary” – mówi. „Niestety, wiele z tego, co oferuje się małym dzieciom, to proste, ale trudne do zrealizowania pomysły, które są trudne do wykonania przez ludzi”, ponieważ łatwo przekraczają granice pamięci roboczej, uwagi, precyzji i innych funkcji poznawczych. Przykłady działań, które mieszczą się w kwadrancie „proste, ale trudne”: Budowanie okopu łyżką (wojskowa kara, która obejmuje wiele małych, powtarzalnych zadań, podobnych do wykonywania 100 dwucyfrowych zadań dodawania na typowym arkuszu, jak zauważa Droujkova) lub zapamiętywanie tabliczki mnożenia jako pojedynczych faktów, a nie wzorów.
Dalej lepiej, mówi, zacząć od tworzenia bogatych i społecznych doświadczeń matematycznych, które są złożone (pozwalając im być podejmowane w wielu różnych kierunkach), a jednocześnie łatwe (czyniąc je sprzyjającymi do natychmiastowej zabawy). Działania, które mieszczą się w tym kwadrancie: budowanie domu z klocków LEGO, robienie origami lub wycinanie płatków śniegu, albo używanie udawanego „pudełka z funkcjami”, które przekształca obiekty (i może być również używane w połączeniu z drugą maszyną do komponowania funkcji, lub wstecz, aby odwrócić funkcję, i tak dalej).
„Można wziąć dowolną gałąź matematyki i znaleźć w niej rzeczy, które są zarówno złożone, jak i łatwe” – mówi Droujkova. „Moim zadaniem, wraz z kilkoma kolegami z całego świata, jest wzięcie skarbów matematyki i znalezienie dostępnych dróg do nich wszystkich.”
Zaczęła od algebry i rachunku, ponieważ są to „narzędzia do rysowania wzorów, narzędzia projektantów, narzędzia twórców – wspierają fajną, swobodną zabawę”. Tak więc „Moebius Noodles” zawiera działania takie jak tworzenie fraktali (aby rozwijać uznanie dla idei rekurencji i nieskończoności) i „książki lustrzane” (lustra, które są przyklejone do siebie jak okładki książki i mogą być ustawione pod różnymi kątami wokół obiektu, aby wprowadzić pojęcia nieskończoności i transformacji). (Inną książką z tego gatunku jest „Calculus by and for Young People,” autorstwa Dona Cohena.)
„To nie jest temat rachunku formalnie nauczanego w college’u” – zauważa Droujkova. „Ale zanim tam dotrzemy, chcemy mieć praktyczne, uziemione, metaforyczne zabawy. Na poziomie swobodnej zabawy uczysz się w bardzo fundamentalny sposób – naprawdę posiadasz swoją koncepcję, mentalnie, fizycznie, emocjonalnie, kulturowo.” Takie podejście „daje ci głębokie korzenie, więc baldachim wysokiej abstrakcji nie więdnie. To, czego uczy się bez zabawy, jest jakościowo inne. Pomaga w zdawaniu testów i prozaicznych ćwiczeniach, ale nie robi nic dla logicznego myślenia i rozwiązywania problemów. Te rzeczy są oddzielne i nie można dojść do nich stamtąd.”
Nie oczekuje, że dzieci będą w stanie rozwiązywać formalne równania w wieku pięciu lat, ale to nie szkodzi. „Istnieją poziomy zrozumienia” – mówi. „Nie chcesz zakuwać ludzi w kajdany formalnego zrozumienia zbyt wcześnie”. Po poziomie nieformalnym przychodzi poziom, na którym uczniowie omawiają pomysły i zauważają wzorce. Następnie przychodzi poziom formalny, na którym uczniowie mogą używać abstrakcyjnych słów, wykresów i wzorów. Najlepiej jednak, jeśli w trakcie całej podróży zachowany jest aspekt zabawy. „To właśnie robią matematycy – bawią się abstrakcyjnymi ideami, ale wciąż się bawią.”
Droujkova zauważa, że naturalna matematyka – której slogan brzmi „uczyń matematykę swoją własną, aby uczynić ją swoją własną” – jest w istocie „ruchem wolnościowym”. Wyjaśnia: „Pracujemy na rzecz wolności na wielu poziomach – swobodnej zabawy małych dzieci, pośrednictwa rodzin i grup lokalnych w organizowaniu zajęć matematycznych, autonomii artystów i twórców, a nawet wolności dla nas, projektantów programów nauczania. … Żadna pojedyncza część matematyki nie jest odpowiednia dla wszystkich. Ludzie są różni i muszą podchodzić do matematyki w różny sposób.”
Na przykład, w grupie uczącej się o własnościach rombów, osoba uzdolniona artystycznie może woleć narysować romb, programista może go zakodować, filozof może dyskutować o istocie rombów, a mistrz origami może złożyć romb z papieru.
Nie każdy musi uczyć się jakiejś szczególnej części matematyki, poza tym, co jest niezbędne do funkcjonowania w jego lub jej kulturze. Wielu ludzi dożywa sędziwego wieku, nie znając na przykład rachunku. „Jednocześnie świat byłby lepszy, gdybyśmy mieli wyższy poziom znajomości matematyki, a ludzkość jako całość potrzebuje zaawansowanej matematyki, aby przetrwać następne 100 lat, ponieważ stoimy przed dość złożonymi problemami.”
Dzieci muszą być narażone na różne style matematyczne, aby znaleźć ten, który najbardziej im odpowiada. Ale muszą też widzieć, jak znaczący (dla nich) ludzie robią znaczące rzeczy z matematyką i cieszą się tym doświadczeniem. Kółka matematyczne, w których ludzie pomagają sobie nawzajem, szybko się rozwijają i są jednym ze sposobów na osiągnięcie tego celu. Matematyczne know-how (działania i przykłady) „musi iść w parze ze społecznościami praktyków, którzy pomogą nowicjuszom odnaleźć w tym sens” – mówi Droujkova. „Jedno nie działa bez drugiego.”
Bez względu na to, jeśli nauka ma być tak efektywna i głęboka, jak to tylko możliwe, istotne jest, aby odbywała się swobodnie. Oznacza to danie dzieciom głosu w kwestii tego, w jakich zajęciach mają uczestniczyć, jak długo, a także jaki poziom mistrzostwa chcą osiągnąć. („To jest największy zgrzyt z tradycyjnym opracowywaniem programów nauczania” – zauważa Droujkova.)
Dorośli muszą być przygotowani na sytuacje, w których dziecko będzie wolało robić coś innego niż zaplanowane zajęcia. Mówi Droujkova: „Rolą dorosłych jest inspirowanie, poprzez mówienie takich rzeczy jak: 'Ooo, co za skomplikowany kształt – zauważyłeś, że krzywa jest zbudowana z linii prostych? Zapewnij matematyczne powiązania z tym, co robią dzieci. Jest to trudne do zrobienia – wymaga zarówno wiedzy pedagogicznej, jak i znajomości pojęć matematycznych, ale można się tego nauczyć. I każdy może z łatwością udzielić ogólnego wsparcia: 'Jak bardzo interesujące, zbadam więcej’. Następnie można poszukać w Internecie lub zapytać na forum kółka matematycznego, aby dowiedzieć się, co to oznacza z matematycznego punktu widzenia.”
Pomocne jest również posiadanie pod ręką różnych interesujących materiałów i pogodzenie się z tym, że dzieci mogą robić przerwy w miarę potrzeb. Droujkova zauważyła, że w większości grup jedno lub dwoje dzieci zajmuje się czymś innym, podczas gdy reszta wykonuje główną czynność. (Dodaje, że osoby nieuczestniczące w zajęciach wciąż pochłaniają zaskakującą ilość czasu.)
Przeciwne opinie pochodzą głównie z dwóch bardzo różnych (i zazwyczaj przeciwstawnych) obozów. Jednym z nich jest kohorta „pozwólmy dzieciom być dziećmi”, która martwi się, że legitymizacja idei angażowania maluchów w algebrę i rachunki będzie kusić Tygrysie Mamy do wpychania swoich dzieci w formalne abstrakcje w tych przedmiotach w coraz młodszym wieku, nawet jeśli to całkowicie mija się z celem. Inni krytycy zaliczają się do obozu „powrotu do podstaw”, który twierdzi, że cała ta zabawa uniemożliwi dzieciom nabranie płynności w tradycyjnych umiejętnościach liczenia.
Droujkova postrzega tę krytykę jako wskazówkę czegoś znacznie większego: „Odzwierciedlają one raczej głębokie przepaści pomiędzy różnymi filozofiami edukacji, lub szerzej, różnice w przyszłości, którą torujemy dzieciom. Kiedy przydzielamy dzieciom wiele podobnych ćwiczeń, wyobrażamy je sobie w sytuacjach, które wymagają przemysłowej precyzji.” Z kolei dawanie dzieciom łamigłówek logicznych czy otwartych projektów wskazuje na aspiracje, że wyrosną na odkrywców czy projektantów. „To nie działa tak bezpośrednio”, przyznaje, „ale te przekonania dyktują, jaką edukację matematyczną dorośli wybierają lub tworzą dla dzieci.”
Są też tacy, którzy martwią się o to, czy to podejście jest praktyczne dla pozbawionych praw obywatelskich populacji. Droujkova twierdzi, że może być ono prowadzone przez każdego „w miarę sprawnego” dorosłego; kluczem jest posiadanie odpowiedniej sieci wsparcia. Ona i jej koledzy starają się wzmocnić lokalne sieci i zwiększyć dostępność na wszystkich frontach: matematycznym, kulturowym i finansowym. Udostępnili swoje materiały i kursy na zasadach Creative Commons, a także zaprojektowali zajęcia, które wymagają jedynie łatwo dostępnych materiałów.
„Wiedza na temat udostępniania otwartej nauki skoncentrowanej na społeczności dla pozbawionych praw obywatelskich populacji jest coraz większa” – zauważa Droujkova, powołując się na eksperymenty Sugaty Mitry i Dave’a Eggersa. Centra internetowe mogą łączyć podobnie myślących członków społeczności, a kursy online i wsparcie są dostępne dla rodziców, nauczycieli i nastolatków, którzy chcą prowadzić lokalne grupy.
Droujkova mówi, że jednym z największych wyzwań jest mentalność dorosłych. Rodzice mają pokusę, by powtórzyć „stare, złe czasy” nauki matematyki ze swoimi dziećmi. Jednak dzięki tym grom, „rodzice mówią, że dostają nowy początek. … Mogą na nowo doświadczyć radości z matematycznej zabawy, jak dzieci w nowym świecie.”