Han gick på jordbruksfakulteten vid universitetet i Zagreb där han studerade vinodling och enologi. Han lärde sig dock om Kalifornien och ville lämna det dåvarande Jugoslavien för att bli vinmakare där. År 1954 lämnade han det kommunistiska Jugoslavien för Västtyskland och fick ett stipendium för att studera där. Därefter emigrerade han till Kanada och när han slutligen fick ett jobberbjudande från en vingård i Kalifornien kunde Grgich åka dit.
Efter att ha arbetat på ett antal vingårdar i Napa Valley – bland annat Souverain Winery, Christian Brothers Cellars, Beaulieu Vineyard (där han arbetade tillsammans med André Tchelistcheff) och Robert Mondavi – blev Grgich vinmakare och kommanditdelägare på Chateau Montelena. Hans Chardonnay från 1973 valdes ut för att tävla vid den historiska vinprovningen i Paris 1976, där det rankades som det bästa vita vinet. En dramatiserad version av historien berättas i filmen Bottle Shock från 2008 som inte skildrade Grgich eftersom ”han inte ville vara en del av den”.
Denna framgång gjorde det möjligt för Grgich (tillsammans med affärspartnern Austin Hills från Hills Brothers Coffee) att etablera sin egen vingård, Grgich Hills Cellar i Rutherford, Kalifornien. Vingården, som bytte namn till Grgich Hills Estate 2006, äger 148 hektar vinodlingar och producerar 70 000 lådor vin varje år. Redan dess första årgång vann Great Chardonnay Showdown, med 221 konkurrenter från länder runt om i världen.