Den välkända, hierarkiska sekvensen i matematikundervisningen börjar med räkning, följt av addition och subtraktion, sedan multiplikation och division. Räkneuppsättningen utökas till att omfatta större och större tal, och vid någon tidpunkt kommer även bråk in i bilden. I början av tonåren introduceras eleverna sedan till mönster av siffror och bokstäver i det helt nya ämnet algebra. En minoritet av eleverna tar sig sedan igenom geometri, trigonometri och slutligen kalkyl, som anses vara toppen av matematiken på gymnasienivå.
Men denna utveckling har faktiskt ”ingenting att göra med hur människor tänker, hur barn växer och lär sig, eller hur matematiken byggs upp”, säger den banbrytande matematikpedagogen och läroplansdesignern Maria Droujkova. Hon instämmer i ett antal röster från hela världen som vill revolutionera sättet att lära ut matematik och föra det mer i linje med dessa principer.
Den nuvarande ordningsföljden är bara en fastlåst historisk olyckshändelse som tar bort mycket av det roliga från vad hon beskriver som matematikens ”lekfulla universum”, med dess mer än 60 discipliner på högsta nivå och dess manifestationer i allt från vävning till byggande, natur, musik och konst. Vad värre är, standardläroplanen börjar med aritmetik, som enligt Droujkova är mycket svårare för små barn än lekfulla aktiviteter baserade på förment mer avancerade matematiska områden.
”De beräkningar som barnen tvingas göra är ofta så olämpliga ur utvecklingssynpunkt att upplevelsen är rena tortyren”, säger hon. De missar också det väsentliga – att matematik i grunden handlar om mönster och strukturer, snarare än ”små manipulationer av siffror”, som hon uttrycker det. Det kan liknas vid att blivande filmskapare först lär sig kostymer, ljussättning och andra tekniska aspekter, snarare än att skapa meningsfulla berättelser.
Mera berättelser
Detta gör att många barn inte gillar matematik från en tidig ålder. Det hindrar också många andra från att lära sig matematik så effektivt eller djupt som de annars skulle kunna göra. Droujkova och hennes kollegor har lagt märke till att de flesta vuxna som de möter har ”berättelser om matematiska sorger”, som hon beskriver dem. De minns hur en enskild kurs – eller till och med ett enskilt ämne, t.ex. bråk – fick dem att avvika från det sekventiella spåret. Hon har själv sett mer än några vuxna ”brista i gråt under intervjuer och återuppleva sina unga personers oro och förlorade förhoppningar”.
Droujkova, som disputerade i matematikutbildning i USA efter att ha invandrat från Ukraina, förespråkar ett mer holistiskt tillvägagångssätt som hon kallar ”naturlig matematik”, som hon lär ut till barn så små som småbarn, och deras föräldrar. Detta tillvägagångssätt behandlas i boken ”Moebius Noodles”, som hon har skrivit tillsammans med Yelena McManaman: Adventurous math for the playground crowd”, bygger på att utnyttja elevernas kraftfulla och förvånansvärt produktiva instinkt för lekfullt utforskande för att vägleda dem på en personlig resa genom ämnet. Droujkova säger: ”Studier har visat att lekar och fri lek är effektiva sätt för barn att lära sig, och de tycker om dem. De visar också vägen till det mer strukturerade och ännu mer kreativa arbetet med att lägga märke till, mixa och bygga upp matematiska mönster.”
För att hitta en lämplig väg krävs det att man uppskattar ett ofta förbisett faktum – att ”idéns komplexitet och svårigheten att genomföra den är separata, oberoende dimensioner”, säger hon. ”Tyvärr är mycket av det som små barn erbjuds enkla men svåra primitiva idéer som är svåra för människor att genomföra”, eftersom de lätt belastar gränserna för arbetsminne, uppmärksamhet, precision och andra kognitiva funktioner. Exempel på aktiviteter som hör till kvadranten ”enkla men svåra”: Att bygga en skyttegrav med en sked (en militär bestraffning som innebär många små, repetitiva uppgifter, vilket kan liknas vid att göra 100 tvåsiffriga additionsuppgifter på ett vanligt arbetsblad, som Droujkova påpekar), eller att memorera multiplikationstabeller som enskilda fakta snarare än som mönster.
Det är mycket bättre, säger hon, att börja med att skapa rika och sociala matematiska upplevelser som är komplexa (så att de kan tas i många olika riktningar) men samtidigt enkla (så att de kan användas för att leka direkt). Aktiviteter som faller inom denna kvadrant: bygga ett hus med LEGO-klossar, göra origami eller snöflingor eller använda en låtsas-”funktionslåda” som förvandlar föremål (och som också kan användas i kombination med en andra maskin för att komponera funktioner, eller baklänges för att invertera en funktion och så vidare).
”Man kan ta vilken gren av matematiken som helst och hitta saker som är både komplexa och enkla i den”, säger Droujkova. ”Min strävan, tillsammans med flera kollegor runt om i världen, är att ta matematikens skatt och hitta lättillgängliga vägar in i alltihop.”
Hon började med algebra och kalkyl eftersom de är ”verktyg för mönsterkonstruktörer, designers och skapare – de stödjer cool fri lek”. Så ”Moebius Noodles” innehåller aktiviteter som att göra fraktaler (för att främja en uppskattning av begreppen rekursion och infinitesimaltal) och ”spegelböcker” (speglar som tejpas fast vid varandra som omslagen till en bok och som kan vinklas på olika sätt runt ett objekt för att introducera begreppen oändlighet och transformationer). (En annan bok i denna genre är ”Calculus by and for Young People” av Don Cohen.)
”Det är inte ämnet kalkyl som formellt lärs ut i college”, konstaterar Droujkova. ”Men innan vi kommer dit vill vi ha en praktisk, jordnära, metaforisk lek. På den fria leknivån lär man sig på ett mycket grundläggande sätt – man äger verkligen sitt koncept, mentalt, fysiskt, känslomässigt och kulturellt.” Detta tillvägagångssätt ”ger dig djupa rötter, så att den höga abstraktionens trädkrona inte vissnar. Det man lär sig utan lek är kvalitativt annorlunda. Det hjälper till med provtagning och vardagliga övningar, men det gör ingenting för logiskt tänkande och problemlösning. Dessa saker är åtskilda, och man kan inte komma hit från där.”
Hon förväntar sig inte att barn ska kunna lösa formella ekvationer vid fem års ålder, men det är okej. ”Det finns nivåer av förståelse”, säger hon. ”Man vill inte fjättra in människor i en formell förståelse för tidigt.” Efter den informella nivån kommer nivån där eleverna diskuterar idéer och lägger märke till mönster. Sedan kommer den formella nivån, där eleverna kan använda abstrakta ord, grafer och formler. Men helst behålls en lekfull aspekt under hela resan. ”Det här är vad matematiker gör – de leker med abstrakta idéer, men de leker fortfarande.”
Droujkova noterar att naturmatematik – vars slogan är ”gör matematiken till din egen, för att göra din egen matematik” – i huvudsak är en ”frihetsrörelse”. Hon förklarar: ”Vi arbetar för frihet på många nivåer – små barns fria lek, familjers och lokala gruppers möjligheter att organisera matematiska aktiviteter, konstnärers och skapares självständighet och till och med frihet för oss som utformar läroplaner. … Ingen enskild del av matematiken är rätt för alla. Människor är olika, och människor behöver närma sig matematiken på olika sätt.”
I en grupp som lär sig om rombers egenskaper kanske en konstnärligt lagd person föredrar att rita en romb, en programmerare kodar en romb, en filosof diskuterar rombers väsen och en origamimästare viker en romb av papper.
Inte heller behöver alla lära sig något särskilt stycke matematik, bortsett från det som är nödvändigt för att fungera i hans eller hennes kultur. Många människor lever till en mogen och lycklig ålder utan att kunna kalkyl, till exempel. ”Samtidigt skulle världen må bättre av att ha en högre läskunnighet i matematik, och mänskligheten som helhet behöver avancerad matematik för att klara sig igenom de kommande 100 åren, eftersom det är ganska komplexa problem vi står inför.”
Barn behöver utsättas för en mängd olika matematiska stilar för att hitta den som passar dem bäst. Men de behöver också se meningsfulla (för dem) människor som gör meningsfulla saker med matematik och som njuter av upplevelsen. Matematikcirklar, där människor hjälper varandra, växer snabbt och är ett sätt att uppnå detta. Matematisk kunskap (aktiviteter och exempel) ”måste åtföljas av praktikgemenskaper som hjälper nybörjare att förstå den”, säger Droujkova. ”Det ena fungerar inte utan det andra.”
Oavsett detta är det viktigt att lärandet sker fritt om det ska vara så effektivt och djupgående som möjligt. Det innebär att barn får vara med och bestämma vilka aktiviteter de vill delta i, hur länge och även vilken nivå av behärskning de vill uppnå. (”Detta är den största krocken med traditionell läroplansutveckling”, konstaterar Droujkova.)
Vuxna måste vara beredda på de tillfällen då ett barn hellre vill göra något annat än den planerade aktiviteten. Droujkova säger: ”Vuxnas roll är att inspirera genom att säga saker som ’Ooh, vilken komplex form – har du lagt märke till att kurvan består av raka linjer’? Skapa matematiska kopplingar till det som barnen gör. Detta är svårt att göra – det kräver både pedagogisk kunskap och kunskap om matematiska begrepp, men det går att lära sig. Och alla kan lätt ge allmänt stöd: ”Mycket intressant, jag ska undersöka mer. Du kan sedan leta på nätet eller fråga på ett forum för mattecirklar för att ta reda på vad det betyder matematiskt.”
Det är också bra att ha en mängd olika intressanta material till hands och att ha förståelse för att barnen tar pauser vid behov. Droujkova har märkt att i de flesta grupper är det ett eller två barn som gör något annat medan resten gör huvudaktiviteten. (De som inte deltar absorberar fortfarande förvånansvärt mycket, tillägger hon.)
Pushback har främst kommit från två mycket olika (och vanligtvis motsatta) läger. Det ena är ”låt barnen vara barn”-gruppen, som oroar sig för att legitimeringen av idén om att involvera småbarn i algebra och kalkylering kommer att locka Tiger Mom-typerna att pressa sina barn in i formella abstraktioner i dessa ämnen i allt yngre åldrar, trots att det skulle missa poängen helt och hållet. Andra kritiker faller in i lägret ”tillbaka till grunderna”, som hävdar att all denna lek kommer att hindra barnen från att bli flytande i traditionella räknefärdigheter.
Droujkova ser denna kritik som ett tecken på något mycket större: ”De återspeglar ganska djupa klyftor mellan olika utbildningsfilosofier, eller mer allmänt, skillnader i den framtid som vi skapar för barnen. När vi tilldelar många liknande övningar föreställer vi oss barn i situationer som kräver industriell precision.” Att ge barn logiska pussel eller öppna projekt tyder å andra sidan på att man vill att de ska växa upp och bli upptäcktsresande eller formgivare. ”Det fungerar inte så direkt”, medger hon, ”men dessa uppfattningar dikterar vilken matematikundervisning de vuxna väljer eller gör för barnen.”
Det finns också några som oroar sig för om detta tillvägagångssätt är praktiskt för missgynnade befolkningsgrupper. Droujkova säger att den kan ledas av vilken ”någorlunda läskunnig” vuxen som helst; nyckeln är att ha rätt stödnätverk på plats. Hon och hennes kolleger strävar efter att stärka de lokala nätverken och förbättra tillgängligheten på alla fronter: matematiskt, kulturellt och ekonomiskt. De har gjort sitt material och sina kurser öppna under Creative Commons och utformat aktiviteter som endast kräver lättillgängligt material.
”Kunskapen om att göra gemenskapscentrerat, öppet lärande tillgängligt för missgynnade befolkningsgrupper växer”, konstaterar Droujkova och hänvisar till experiment av Sugata Mitra och Dave Eggers. Onlinehubbar kan koppla samman likasinnade samhällsmedlemmar, och onlinekurser och stöd finns tillgängligt för föräldrar, lärare och tonåringar som vill leda lokala grupper.
Droujkova säger att en av de största utmaningarna har varit de vuxnas inställning. Föräldrar frestas att spela upp sin ”dåliga gamla tid” när det gäller matematikundervisning med sina barn, säger hon. Men med dessa kalkyl- och algebraspel säger föräldrarna att de får en ny start. De kan uppleva glädjen i matematiska lekar på nytt, som barn i en ny värld”.